Gitter und Kryptographie Blatt 5, 24.05.2019, Abgabe 31.05.2019

Prof. C. P. Schnorr Sommersemester 2019

Gitter und Kryptographie

Blatt 5, 24.05.2019, Abgabe 31.05.2019

Denition. Das duale (polare oder reziproke) Gitter L ^∗ zum Gitter L ist L ^∗ = {x ∈ span(L) | hx, bi ∈ Z für alle b ∈ L}.

Sei R ₈ = [r ₁ , ..., r ₈ ] ∈ R ^8×8 die GNF (Skript Seite 22) mit Untermatrizen R _n .

Aufgabe 1. Zeige 1. L = L ^∗ für L = L(R ₈ ) .

2. Berechne die Gram-Matrix R ^t ₁₂ R ₁₂ für R ₁₂ (Skript, Seite 24).

Aufgabe 2. Bestätige die Mazo, Odlyzko Schranke im Beweis zu Satz 5.3.1 K n = def |{x ∈ Z ⁿ + 1/2 · y : kxk ≤ p

n/4}| ≤ 2 ^c

ⁿ

c ⁰ ₀ = 1, 0629 das SVP-Orakel liefert x ˆ ⁰ := (x ₁ , ..., x _n+2 ) ^t = P n

i=1 y _i b _i − yb ⁰ _n+1 ∈ L CJLOSS mit y ≥ 0, y i ∈ Z.

1. Volumenheuristik: Berechne c ⁰⁰ ₀ mit ¹ ₂ K _n ≤ V _n ( ¹ ₂ √

n) ⁿ ≈ 2 ^c

ⁿ ≤ K _n . 2. Zeige K _n ≥ 2 ⁿ + (n−n/4)! (n/4)! ^n! · 2 ^n/4 ≥ 2 ^{1.058 n} .

Aufgabe 3: Sei B =





 I n

a





 ∈ R ^(n+1)×n mit a = (a ₁ , . . . , a _n ) Zeige: det B ^t B = 1 + P n

i=1 a ² _i .

Hinweis: B ^t B hat den Eigenwerte 1 (n − 1) mal und 1 + P n

i=1 a ² _i einmal zu

Eigenvektoren (−a ₂ , a ₁ , 0, . . . , 0) ^t , . . . , (−a _n , . . . , a ₁ ) ^t , (a ₁ , a ₂ , . . . , a n−1 , a _n ) ^t ∈

R ⁿ .

Punktzahl 6 pro Aufgabe