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Gitter und Kryptographie Blatt 5, 24.11.2010, Abgabe Mittwoch, 01.12.2010

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Prof. C. P. Schnorr Wintersemester 2010/11

Gitter und Kryptographie

Blatt 5, 24.11.2010, Abgabe Mittwoch, 01.12.2010

Aufgabe 1. Zeige: Für jede LLLBasis b 1 , . . . , b n von L gilt:

1. kb 1 k 2 ≤ α

n−12

(det L)

n2

, 2. Q n

i=1 kb i k 2 ≤ α (

n2

)(det L) 2 .

Def. Sei R ∈ R n×n GNF und D σ ∈ Z n×n Diagonalmatrix mit Diagonale (σ 1 , . . . , σ n ) ∈ {±1} n . Dann ist die quadratische Form f A mit A = R t D σ R ∈ R n×n eine LLLForm zu δ , 1 4 < δ ≤ 1 , wenn R eine LLLBasis zu δ ist.

Aufgabe 2. Modiziere den Alg. zur LLLReduktion, so dass eine gege- bene Form f A , A = A t ∈ Z n×n in eine LLLForm f T

t

AT transformiert wird.

Wie werden die Vorzeichen σ 1 , . . . , σ n und die GNF R = [r i,j ] berechnet und verändert?

Aufgabe 3. Sei A = R t D σ R ∈ R n×n , R GNF und D σ mit Diagonale σ ∈ {±1} n . Zeige:

1. Die Vertauschung von col(k − 1, A), col(k, A) und row(k − 1, A), row(k, A) lässt σ k−1 + σ k , r k−1,k−1 r k,k und σ i , r i,i für i 6= k, k − 1 unverändert.

2. Für A 0 := T t AT mit T ∈ GL n ( Z ) gilt P n

i=1 σ i = P n

i=1 σ i 0 , damit ist die

'Signatur' #{i | σ i = 1} invariant gegen Äquivalenztransformationen T .

Punktzahl Aufgabe 1 : 4, Aufgabe 2, 3 : 5

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