Gitter und Kryptographie Blatt 4, 17.05.2019, Abgabe 24.05.2019 in der Übung

Prof. C. P. Schnorr Sommersemester 2019

Gitter und Kryptographie

Blatt 4, 17.05.2019, Abgabe 24.05.2019 in der Übung

Aufgabe 1. Sei R _n die Teilmatrix der ersten n Zeilen und Spalten der Basis R ₂₄ des Leech-Gitters. Berechne zu den Hermite-Invarianten γ(L(R _n )) = 2 ⁱ

^/j

die i _n , j _n ∈ N für n = 6, 18, 22 und vergleiche diese Hermite-Invarianten mit den Maximalwerten der Tabelle 2.4.2 des Skripts.

Hinweis Benutze λ ² ₁ (L(R _n )) = 4 = γ(L(R _n )) det(R _n )

und det(R ₂₄ ) = 1 .

Aufgabe 2. Zeige für die folgende Basis: 1. kb ₁ k ² = α

det(L) ^2/n . 2. Die Basis ist LLL-reduziert für δ und α = (δ − ¹ ₄ ) ⁻¹ :

[b ₁ , . . . , b _n ] =





























1 1/2 0 · · · · · · 0 0 ρ ρ/2 · · · · · · ...

... ... ρ ² ... ...

... ... ... ... 0

... ... ρ ⁿ⁻² ρ ⁿ⁻² /2 0 · · · · · · · · · 0 ρ ⁿ⁻¹





























∈ R ^n×n , ρ := 1/ √ α.

(Damit ist die obere Schranke für kb ₁ k ² von Korollar 4.1.5 (1) scharf.)

Aufgabe 3. Sei p Primzahl mit p = 1 mod 4 , i ∈ Z und i ² = −1 mod p und L _p das Gitter L _p = {(a, b) ^t ∈ Z ² : a − ib = 0 mod p } . Zeige:

1. det L _p = p , und λ ² ₁ (L _p ) = p

2. Löse 269 = a ² ₀ + a ² ₁ mit a ₀ , a ₁ ∈ N mittels Gauss-Reduktion.

Hinweis: Für (a, b) ^t ∈ L _p gilt a ² + b ² = 0 mod p , ferner λ ² ₁ ≤ q

4

3 det L _p .

Punktzahl pro Aufgabe 6