Gitter und Kryptographie Blatt 6, 23.11.2007, Abgabe 30.11.2007 Aufgabe 1.

Prof. C. P. Schnorr Wintersemester 2007/08 Gitter und Kryptographie

Blatt 6, 23.11.2007, Abgabe 30.11.2007 Aufgabe 1. Zeige:

Die LLL-Reduktion, Alg. 3, transformiert linear abhängige Eingabevektoren b₁, ...,b_n∈Z^m in(b₁, ...,b_n)T = (0ⁱ,b⁰_i+1, ...,b⁰_n) so dassb⁰_i+1, ...,b⁰_n∈Z^m linear unabhängig sind.

Aufgabe 2. Sei (b1, . . . ,bn) = QR∈ R^m×n Gitterbasis. Wie ändert die Vertauschung vonbk−1,b_k dieri,k−1, r_i,k ?

Zeige füri= 1, . . . , k−2: r_i,k−1^neu =r^alt_i,k, r_i,k^neu=r_i,k−1^alt . Aufgabe 3. Zeige, dass die Gitter

An={x∈Zⁿ⁺¹ | hx,1i= 0}

Dn={x∈Zⁿ| hx,1i= 0 mod 2}

für n = 3 isometrisch sind. Transformiere die gegebenen Basen im Skript, Seite 7, in isometrische Basen.

Aufgabe 4. Zeige:

Jedes GitterL ⊂Zⁿ hat eine Basis B = (bi,j) in oberer Dreiecksform, d.h.b_i,j = 0 für i < j.