Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik Ordnungsrelationen

(1)

Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik

Ordnungsrelationen

Dozentin: Wiebke Petersen

4. Foliensatz

(2)

Ordnungen ordnungserhaltende Abbildungen Verbände

strikte / schwache Ordnungen

EineOrdnungR einer MengeAist eine binäre RelationR⊆A×A.

Man unterscheidet zwischenstriktenundschwachenOrdnungen:

Eine binäre Relation ist eine schwache Ordnung, gdw. sie transitiv,

reflexiv und anti-symmetrisch ist.

Eine binäre Relation ist eine strikte Ordnung, gdw. sie transitiv,

irreflexiv und asymmetrisch

(3)

korrespondierende Ordnungen

Eine schwache OrdnungR⊆A×Aund eine strikte OrdnungS korrespondieren zueinander gdw.

R=S∪idA

Beispiele: SeiA={a,b,c,d}

R1={ha,bi,ha,ci,ha,di,hb,ci,ha,ai,hb,bi,hc,ci,hd,di}

R2={hb,ai,hc,bi,hc,ai,hb,bi,ha,ai,hc,ci,hd,di}

R3={hd,ci,hd,bi,hd,ai,hc,bi,hc,ai,hb,ai,ha,ai,hb,bi,hc,ci,hd,di}

korrespondierende strikte Ordnungen:

S1={ha,bi,ha,ci,ha,di,hb,ci}

S2={hb,ai,hc,bi,hc,ai}

S3={hd,ci,hd,bi,hd,ai,hc,bi,hc,ai,hb,ai}

(4)

geordnete Mengen

Einegeordnete Mengeist ein Paar (M,R), bestehend aus einer MengeMund einer OrdnungR vonM.

Beispiele:

(POT(M),⊆) ist eine schwach geordnete Menge.

(POT(M),⊂) ist die korrespondierende strikt geordnete Menge.

(N,≤) ist eine schwach geordnete Menge.

(N, <) ist die korrespondierende strikt geordnete Menge.

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Terminologie

Sei (M,R) eine (strikt oder schwach) geordnete Menge.

aist einVorgängervonbgdw.R(a,b).

aist einNachfolgervonbgdw.R(b,a).

aist einunmittelbarer Vorgänger(oderunterer Nachbar) vonbgdw.

a6=b, R(a,b), und

es gibt kein c∈M mitc6∈ {a,b}so dassR(a,c) undR(c,b).

aist einunmittelbarer Nachfolger(oderoberer Nachbar) vonbgdw.bein unmittelbarer Vorgänger vonaist.

Wennaein unmittelbarer Vorgänger vonbist, dann schreibt man häufiga≺b.

(6)

Hassediagramm

Konstruktion

Eine endliche geordnete Mengen (M,R) kann durch einHassediagramm veranschaulicht werden; dieses erhält man, indem man für jedes Element vonM einen Punkt zeichnet und zwar so, daßaunterhalb vonb liegt, wenna6=b und (a,b)∈R.

Zwei Punkteaundbwerden mit einer Linie verbunden, wenna≺b.

Übung: Zeichnen sie die folgenden Hasse-Diagramme Hasse-Diagramm von ({a,b,c},R2) mit

R2={hb,ai,hc,bi,hc,ai, hb,bi,ha,ai,hc,ci}

Hasse-Diagramm von (POT({1,2,3}),⊆)

(7)

Beispiele

Hasse-Diagramm von ({a,b,c},R2) mit R2={hb,ai,hc,bi,hc,ai,

hb,bi,ha,ai,hc,ci}

a

b

c

{1,2}

{1}

{1,3}

{2}

{ }

{2,3}

{3}

(8)

Beispiele

Hasse-Diagramm von ({a,b,c},R2) mit R2={hb,ai,hc,bi,hc,ai,

hb,bi,ha,ai,hc,ci}

a

b

c

{1,2,3}

{1,2}

{1}

{1,3}

{2}

{2,3}

{3}

(9)

Hasse-Diagramme: Beispiel Teilbarkeit

SeiM={x ∈N|60 ist durchx ohne Rest teilbar}, und R={hx,yi ∈M×M|y ist durchx ohne Rest teilbar}.

Hassediagramm der geordneten Menge (M,R):

(10)

Hasse-Diagramme: Beispiel Teilbarkeit

SeiM={x ∈N|60 ist durchx ohne Rest teilbar}, und R={hx,yi ∈M×M|y ist durchx ohne Rest teilbar}.

Hassediagramm der geordneten Menge (M,R):

(11)

Übung

Zeichnen sie ein Hasse-Diagramm zur geordneten Menge

M= ({{1,2,3,4,5},{1,2,3,5},{1,3,4},{2,4,5},{1,2,3},{1,3},{2,4}, {1,5},{1},{3},{4},{5},{}},⊆).

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totale/partielle Ordnung

Eine binäre Ordnungsrelation ist einetotaleOrdnung, gdw. siekonnexist.

Eine binäre RelationR⊆M×M istkonnex(bzw.linear) gdw. für allex,y ∈M mitx6=y gilt:hx,yi ∈Roderhy,xi ∈R.

Das Hassediagramm einer total geordneten, endlichen Menge bildet eine Linie. Kein Element hat mehr als einen oberen oder unteren Nachbarn.

Totale Ordnungen werden auchlineareOrdnungen genannt.

In Abgrenzung zu totalen Ordnungen werden allgemeine Ordnungen auch partielleOrdnungen (oderHalbordnungen) genannt. Im Englischen spricht man von ‘poset’ (partially ordered set).

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minimale und maximale Elemente

SeiR⊆A×Aeine Ordnung (strikt oder schwach).

Ein Elementx∈Aistminimalgdw. es keiny 6=x gibt, das Vorgänger vonx ist.

Ein Elementx∈Aistmaximalgdw. es keiny6=x gibt, das Nachfolger von x ist.

x∈Aist dasMinimumvonA, wennx Vorgänger jedes anderen Elements vonAist (für alley∈Amitx 6=y giltxRy).

x∈Aist dasMaximumvonA, wennx Nachfolger jedes anderen Elements vonAist (für alley∈Amitx 6=y giltyRx).

Hinweise:

eine total geordnete Menge kann höchstens ein minimales und höchstens ein maximales Element haben.

eine partiell geordnete Menge kann beliebig viele minimale und maximale Elemente aber höchstens ein Minimum und höchstens ein Maximum haben.

(14)

Beispiel

aist das einzige maximale Element und somit das Maximum der geordneten Menge.

d undesind die minimalen Elemente der geordneten Menge. die geordnete Menge hat kein Minimum,

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Beispiel

aist das einzige maximale Element und somit das Maximum der geordneten Menge.

d undesind die minimalen Elemente der geordneten Menge.

die geordnete Menge hat kein Minimum,

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Vergleichbarkeit / Kette / Antikette

Sei (M,R) eine geordnete Menge und seienaundb Elemente vonM.aundb heißenvergleichbar, fallsaRboderbRa; sonstunvergleichbar. Eine TeilmengeK vonM heißtKette, g.d.w. für beliebigea,b∈K gilt, daß sie vergleichbar sind.

Eine TeilmengeAvonM heißtAntikette, g.d.w. für beliebigea,b∈Amita6=b gilt, daß sie unvergleichbar sind.

Satz von Dilworth

Für eine geordnete endliche Menge (M,R) gilt: Die maximale Anzahl von

Elementen in einer Antikette von (M,R) ist gleich der kleinsten Anzahl von Ketten von (M,R), die man für eine Partition vonMbenötigt.

Höhe / Breite

DieHöheeiner endlichen geordneten Menge (M,R) ist gleich der maximalen Anzahl von Elementen einer Kette von (M,R).

DieBreiteeiner endlichen geordneten Menge (M,R) ist gleich der maximalen Anzahl von Elementen einer Antikette von (M,R).

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Vergleichbarkeit / Kette / Antikette

Elementen in einer Antikette von (M,R) ist gleich der kleinsten Anzahl von Ketten von (M,R), die man für eine Partition vonMbenötigt.

DieHöheeiner endlichen geordneten Menge (M,R) ist gleich der maximalen Anzahl von Elementen einer Kette von (M,R).

DieBreiteeiner endlichen geordneten Menge (M,R) ist gleich der maximalen Anzahl von Elementen einer Antikette von (M,R).

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Vergleichbarkeit / Kette / Antikette

Elementen in einer Antikette von (M,R) ist gleich der kleinsten Anzahl von Ketten von (M,R), die man für eine Partition vonMbenötigt.

Höhe / Breite

DieHöheeiner endlichen geordneten Menge (M,R) ist gleich der maximalen

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Beispiel

d undesind unvergleichbar.

{a,b,d}ist eine Kette der geordneten Menge. {b,c}ist Antikette der geordneten Menge.

Die geordnete Menge hat die Höhe 3 und die Breite 2.

Die Ketten{a,b,d}und{c,e}bilden eine minimale Partition in Ketten der geordneten Menge.

(20)

Beispiel

Die Elementeaundbsind vergleichbar.

d undesind unvergleichbar.

{a,b,d}ist eine Kette der geordneten Menge.

{b,c}ist Antikette der geordneten Menge.

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Intervall / Ideal / Filter

Sei (M , ) eine geordnete Menge:

Intervall: [a, b ] := {x ∈ M | a x b oder x = a oder x = b}

Hauptideal: (b] := {x ∈ M | x b oder x = b}

Hauptfilter: [a) := {x ∈ M | a x oder x = a}

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Beispiel

{1,3,4,5,6}(Intervall von 6 bis 1) (4] ={4,6,8}(Hauptideal von 4)

[6) ={1,2,3,4,5,6}(Hauptfilter von 6).

(23)

Beispiel

[6,1] ={1,3,4,5,6}(Intervall von 6 bis 1) (4] =

[6) ={1,2,3,4,5,6}(Hauptfilter von 6).

(24)

Beispiel

{1,2,3,4,5,6}(Hauptfilter von 6).

(25)

Beispiel

[6,1] ={1,3,4,5,6}(Intervall von 6 bis 1) (4] ={4,6,8}(Hauptideal von 4)

[6) ={1,2,3,4,5,6}(Hauptfilter von 6).

(26)

Quasiordnung

Der Begriff der Quasiordnung ist schwächer als der der Ordnung:

Definition

Eine binäre RelationR⊆M×M ist eineQuasiordnung(oderPräordnung), wenn R

reflexiv und transitiv ist.

Beispiel:

Die Relation≤abs, die die ganzen Zahlen nach ihrem Betrag ordnet ist eine Quasiordnung aber keine Ordnung (beachte, dass−3≤abs3 und 3≤abs −3 aber−36= 3).

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Zusammenfassung: Ordnungen

schwache Ordnungen

transitiv reflexiv anti- linear/total symmetrisch

Quasiordnung ? ?

partielle Ordnung ? ? ?

totale Ordnung ? ? ? ?

Bemerkung: (Schwache) lineare Ordnungsrelationen werden häufig mit≤, bzw.

partielle Ordnungsrelationen mit⊆bezeichnet, auch wenn es sich bei der gegebenen Ordnung weder um eine numerische Größenordnung noch um die Mengeninklusion handelt.

(28)

Zusammenfassung: Ordnungen

strikte Ordnungen

transitiv irreflexiv asymmetrisch linear/total

strikte partielle Ordnung ? ? ?

strikte totale Ordnung ? ? ? ?

Bemerkung: Strikte Ordnungsrelationen werden häufig mit<, bzw. mit⊂ bezeichnet.

Man könnte strikte Ordnungen äquivalent auch als transitive, irreflexive und antisymmetrische Relationen definieren, da eine Relation, die irreflexiv und antisymmetrisch ist, immer asymmetrisch ist.

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Quiz-Time

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Ordnungserhaltende Abbildungen

Definition

Seien (M,) und (M⁰,⁰) zwei geordnete Mengen. Eine Abbildung (Funktion) f :M→M⁰ heißtordnungserhaltend, wenn für allex,y ∈M gilt:

wennxy, dannf(x)⁰f(y)

Eine ordnungserhaltende Abbildung ist einOrdnungshomomorphismus.

Beispiele:

f :N0→N0mitf(x) = 2x ist eine ordnungserhaltende Abbildung von (N⁰,≤) nach (N⁰,≤).

f :N0→N0mitf(x) =x²ist eine ordnungserhaltende Abbildung von (N⁰,≤) nach (N⁰,≤).

f :Z→Zmitf(x) =x²ist keine ordnungserhaltende Abbildung von (Z,≤)

(31)

Terminologie und Anmerkungen

Ordnungserhaltende Abbildungen nennt man auch isotone Abbildungen.

Abbildungen für die aus x y folgt, dass f (y)

⁰

f (x) gilt, heißen antiton.

Eine Abbildung ist monoton, wenn sie isoton oder antiton ist.

Vorsicht: Häufig wird der Begriff ‘monoton’ auch nur für isotone

Abbildungen verwendet.

(32)

Ordnungsreflektierende Abbildungen

Definition

Seien (M,) und (M⁰,⁰) zwei geordnete Mengen. Eine Abbildung (Funktion) f :M→M⁰ heißtordnungsreflektierend, wenn für allex,y∈M gilt:

wennf(x)⁰f(y), dannxy Beispiele:

f :N0→N0mitf(x) = 2x ist eine ordnungsreflektierende Abbildung von (N⁰,≤) nach (N⁰,≤).

SeiM eine endliche Menge.f :POT(M)→N0mitf(A) =|A|ist keine ordnungsreflektierende Abbildung von (POT(M),⊆) nach (N0,≤) . Satz:Ordnungsreflektierende Abbildungen sind immer injektiv.

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Ordnungseinbettung

Definition

Seien (M,) und (M⁰,⁰) zwei geordnete Mengen. Eine Abbildung (Funktion) f :M→M⁰ heißtOrdnungseinbettung, wenn sie ordnungserhaltend und ordnungsreflektierend ist, wenn also folgendes gilt:

xy⇔f(x)⁰f(y)

EinOrdnungsisomorphismusist eine bijektive Ordnungseinbettung. Gibt es einen Ordnungsisomorphismus zwischen (M,) und (M⁰,⁰), so sagt man dass die beiden geordneten Mengen (ordnungs-)isomorph sind und schreibt

(M,)∼= (M⁰,⁰).

Ein Ordnungsisomorphismus von (M,R) in sich selbst wird auch Ordnungsautomorphismusgenannt.

Beispiele:

f :Z→Zmitf(x) =−x ist ein Ordnungsisomorphismus von (Z,≤) nach (Z,≥).

f :R→Rmitf(x) = ^x₂ ist ein Ordnungsautomorphismus auf (R,≤).

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Quiz-Time

(35)

obere / untere Schranke

Sei (M,) eine geordnete Menge undK eine Teilmenge vonM. Ein Elementx vonM ist

eineobere SchrankevonK, g.d.w. für alley ∈K:yx odery=x; eineuntere SchrankevonK, g.d.w. für alley ∈K:xy odery =x.

Die Abbildungen zeigen die Hassediagramme zweier geordneter Mengen. Die rot markierten Elementen haben die blau markierten Elemente als obere und die grün markierten als untere Schranken.

(36)

kleinste obere / größte untere Schranke

x heißtkleinste obere SchrankeoderSupremumvon KinM, wennx eine obere Schranke vonKist und für jede obere Schrankey∈M vonK mitx6=y die Ungleichungxy gilt. Wir schreiben supK oderW

Kfür das Supremum vonK (lese∨als ‘join’).

x heißtgrößte untere SchrankeoderInfimumvonKinM, wennx eine untere Schranke vonKist und für jede untere Schrankey ∈M vonK mitx 6=y die Ungleichungyx gilt. Wir schreiben infK oderV

K für das Infimum vonK (lese

∧als ‘meet’).

Wir schreibenx∨y stattW_{x

,y}undx∧y stattV_{x ,y}.

Die Beispiele der vorangegangenen Folie zeigen, daß es geordnete MengenM gibt, für die nicht jede TeilmengeK⊆M ein Supremum oder Infimum hat.

Das Infimum ist also das Maximum aller unteren Schranken und das Supremum ist das Minimum aller oberen Schranken.

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kleinste obere / größte untere Schranke

x heißtkleinste obere SchrankeoderSupremumvon KinM, wennx eine obere Schranke vonKist und für jede obere Schrankey∈M vonK mitx6=y die Ungleichungxy gilt. Wir schreiben supK oderW

Kfür das Supremum vonK (lese∨als ‘join’).

x heißtgrößte untere SchrankeoderInfimumvonKinM, wennx eine untere Schranke vonKist und für jede untere Schrankey ∈M vonK mitx 6=y die Ungleichungyx gilt. Wir schreiben infK oderV

K für das Infimum vonK (lese

∧als ‘meet’).

Wir schreibenx∨y stattW_{x

,y}undx∧y stattV_{x ,y}.

Die Beispiele der vorangegangenen Folie zeigen, daß es geordnete MengenM gibt, für die nicht jede TeilmengeK⊆M ein Supremum oder Infimum hat.

Das Infimum ist also das Maximum aller unteren Schranken und das Supremum ist das Minimum aller oberen Schranken.

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Beispiele

Für die linear geordnete Menge (R, ≤) gilt: sup[1, 4] = 4 und inf[1, 4] = 1.

Für die partiell geordnete Menge (POT (M), ⊆) mit

M = {1, 2, 3, 4} ist das Supremum von K =

{1, 2}, {2, 4}, {1}

die Vereinigung aller Elemente von K , also sup K = {1, 2, 4}.

Das Infimum von K ist der Durchschnitt aller Elemente von K ,

also inf K = ∅.

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Verbände

Verband: ordnungstheoretische Definition

Eine geordnete Menge (V , ≤) ist ein Verband, g.d.w. zu je zwei Elementen x und y aus V auch das Supremum von x und y und das Infimum von x und y Elemente von V sind.

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