Einf¨ uhrung in die Quantenmechanik und Statistik
SoSe 17 Prof. Dr. Julia TjusMehmet G¨und¨uz (mehmet.guenduez@rub.de) Mi. 8:15-9:45 Uhr in NB6/73 Mario H¨orbe (mario@tp4.rub.de) Di. 12:15-13:45 Uhr in NB6/73 Frederik Tenholt (ftenholt@tp4.rub.de) Di. 12:15-13:45 Uhr in NB6/173
Ubungsblatt H5 ¨
Abgabe: 11.07. im Zettelkasten, NB7 Nord Wichtig: Bitte gebt jede Aufgabe auf einem separaten Zettel ab und tackert ggf. jene Bl¨atter zusammen, welche zur selben Aufgabe geh¨oren. Sorgt auch daf¨ur, dass Eure Zettel eindeutig einer Ubungsgruppe zugeordnet werden k¨¨ onnen!Aufgabe H5.1: Addition von Spin-
12-Operatoren
Der Gesamtspin eines Mehrteilchensystems berechnet sich aus der Summe aller einzelnen Spins. Hier- bei ist es wichtig, wie diese relativ zu einer ausgezeichneten Achse ausgerichtet sind. Betrachte dazu die vier Spin-Zust¨ande eines Systems aus zwei Spin-12-Teilchen
|↑↑i=|↑i |↑i |↑↓i=|↑i |↓i
|↓↑i=|↓i |↑i |↓↓i=|↓i |↓i
wobei sich das erste (zweite) Symbol auf die Ausrichtung des ersten (zweiten) Teilchens relativ zu einer ausgezeichneten Achse, o.B.d.A. der z-Achse, bezieht.
(a) Welche Zust¨ande|S, msi gibt es im Allgemeinen f¨ur ein System mitS = 1?
(b) Zeige mit Hilfe von
S=S1+S2 und S±=Sx±iSy , (1)
dass der Operator S2 auch ¨uber folgende Relation dargestellt werden kann:
S2=S12+S22+ 2S1zS2z+S1+S2−+S1−S2+ . (2) Beachte, dass die Operatoren mit Index 1 oder 2 jeweils nur auf das erste bzw. zweite Teilchen wirken.
(c) Bestimme mit der neuen Darstellung von S2 den Gesamtspin der Zust¨ande |↓↓i und |↑↑i. Was ergibt sich zudem jeweils f¨urSz? Zeige, dass die Anwendung vonS2 auf die beiden verbleibenden Zust¨ande keine eindeutige Aussage ¨uber den Gesamtspin ergibt.
(d) Zeige, dass die Anwendung von S− = S1− +S2− auf |↑↑i den gesuchten Zustand ergibt und normiere diesen.
Hinweis: Mache Dir die Eigenwertgleichungen der jeweiligen Operatoren zu Nutze, falls n¨otig.
bitte wenden!
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Aufgabe H5.2: Der unendliche, kubische Potentialtopf
Ein Teilchen befinde sich in einem potentialfreien W¨urfel der Kantenl¨angea, sodass V (x, y, z) =
(0 f¨ur 0< x < a , 0< y < a , 0< z < a
∞ sonst. (3)
In diesem Fall nimmt das Teilchen die Zust¨ande Ψnx,ny,nz(x, y, z) =
2 a
32 Y
k=x,y,z
sinnkπ a k
(4) mitnx, ny, nz ∈Nein. Die zugeh¨origen Energien belaufen sich hierbei auf
En(0)= 1 2m
~π a
2
n2x+n2y+n2z
. (5)
(a) Bestimme den Grad der Entartung der Energieeigenwerte des Grundzustandes, sowie f¨ur den ersten angeregten Zustand.
Das gegebene Volumen werde nun innerhalb des Viertels 0< x < a2 , 0< y < a2 durch ein konstantes PotentialV0>0 gest¨ort.
(b) Zeige, dass sich durch diese St¨orung der Energieeigenwert des Grundzustandes in erster Ordnung um den Betrag V40 nach oben verschiebt:
E0 =E0(0)+λE0(1)= 3 2m
~π a
2
+λV0
4 . (6)
Hierbei modelliert der dimensionslose Kopplungsparameterλ∈[0,1] die St¨arke der St¨orung.
(c) Zeige, dass sich die Energieeigenwerte des ersten angeregten Zustandes durch die St¨orung in erster Ordnung in drei Energieniveaus aufspalten, welche durch
E1 =E1(0)+λV0 4
1 + 3π8 2
1
1− 3π8 2
(7)
gegeben sind.
Hinweis: Hochindices (0), (1), ... bezeichnen den Grad der st¨orungstheoretischen Korrektur.
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