Oliver Schn¨urer, Universit¨at Konstanz Wintersemester 2012/2013 Matthias Makowski
Ubungen zur Vorlesung Theorie partieller Differentialgleichungen¨ Blatt 4
Aufgabe 4.1. (2 Punkte) Seienk, n∈N+. Zeige, dass
(x1+. . .+xn)k = X
|α|=k
|α|
α
xα
gilt, wobeiα= (α1, . . . , αn)∈Nn ein Multiindex ist und |α|
α
:=|α|!
α! ,
α! :=α1!·α2!· · ·αn!, xα:=xα11· · ·xαnn,
|α|:=α1+. . .+αn. Aufgabe 4.2. (4 Punkte)
Sein∈N,n≥2. Sei Ω⊂Rn offen. Sei u: Ω→Rharmonisch in Ω. Zeige, dassureell analytisch in Ω ist.
Anleitung: Seix0∈Ω und w¨ahler:= 14dist(x0, ∂Ω).
(i) Seiα= (α1, . . . , αn) ein Multiindex mit|α|=k∈N. Zeige, dass es eine vonαunabh¨angige Konstante c >0 mit
kDαukC0(Br(x0))≤c
2n+1n2e r
k α!
gibt. Verwende hierf¨ur die Stirlingsche Formel lim
k→∞
kk+12 k!ek = 1
√2π.
(ii) Seir0:= 2n+2rn3e. Zeige, dass die Taylorreihe vonuumx0 inBr0(x0) konvergiert.
Aufgabe 4.3. (4 Punkte)
Sein∈N. Sei Ω⊂Rn ein Gebiet. Seif : Ω→Reine reell analytische Funktion. Sei Ω0⊂Ω eine nichtleere, offene Menge. Zeige, dass ausf|Ω0 = 0 auchf ≡0 folgt.
Aufgabe 4.4. (6 Punkte)
Sein∈N,n≥2. Seiu:Rn→Rharmonisch.
(i) Seiunach unten beschr¨ankt. Zeige, dassukonstant ist.
(ii) Seik∈N. Nehme an es gibt eine KonstanteC >0, so dass f¨ur allex∈Rn
|u(x)| ≤C(1 +|x|k) gilt. Zeige, dass uein Polynom mit gradu≤k ist.
Webseite:http://www.math.uni-konstanz.de/~makowski/veranstaltungen1213.html#PDE Abgabe:Bis Montag, 19.11.2012, 9.55 Uhr, in die Briefk¨asten bei F 411.
