Sei Ω⊂Rn offen undf ∈L1(Ω,R)

Oliver Schn¨urer, Universit¨at Konstanz Wintersemester 2012/2013 Matthias Makowski

Ubungen zur Vorlesung Variationsrechnung¨ Blatt 1

Aufgabe 1.1. (6 Punkte)

Sei n ∈N+ und sei B1(0) :={x∈ Rⁿ : |x| <1}. Sei η eine Friedrichsche Gl¨attungsfunktion, d. h. es gilt η∈C^∞(Rⁿ,R) mit suppη⊂B1(0),R

Rⁿη dλ= 1 undη≥0. Wir definieren f¨ur beliebigeε >0 die zugeh¨orige Diracfolgeηε:=ε⁻ⁿη ^x_ε

.

Sei Ω⊂Rⁿ offen undf ∈L¹(Ω,R). Wir setzenf durch Null auf das Komplement von Ω fort und definieren f¨ur beliebigeε >0 die Funktionenf_ε:Rⁿ →R, x7→R

Rⁿη_ε(x−y)f(y)dy. Sei (ε_n)_n∈N⊂R+ eine Nullfolge und seiε >0 beliebig. Zeige die folgenden Aussagen:

(i) Sei 1≤p <∞und seif ∈L^p(Rⁿ). Dann giltkfε_n−fk_Lp(Rⁿ)→0 f¨urn→ ∞.

(ii) Sei k∈N+ und 1≤p <∞. Sei in dieser Teilaufgabef noch zus¨atzlich von der Klasse W^k,p(Ω). Sei x∈Ω. FallsB_ε(x)⊂Ω gilt, dann istD^αf_ε(x) = (D^αf)_ε(x) f¨ur alle Multiindizesαmit|α| ≤m.

Sei Ω⁰bΩ offen, dann giltkf_εn−fk_Wk,p(Ω⁰)→0 f¨urn→ ∞.

(iii) Gelte nunf ∈L^∞(Ω). Dann giltkfεkL^∞(Ω)≤ kfkL^∞(Ω).

Aufgabe 1.2. (4 Punkte)

Sei H ∈ (−1,1)\ {0}. F¨ur u ∈ C²((0,1))∩C¹([0,1]) mit u(0) = H⁻¹ und u⁰(0) = 0 definieren wir das Funktional

H[u] :=

Z 1

0

p1 + (u⁰(x))²+Hu(x) dx.

Nehme an, u∈C²((0,1))∩C¹([0,1]) sei ein Minimum des Funktionals. Leite die Differentialgleichung her, welcheuerf¨ullt und zeige, dass der Graph vonu,

graphu:={(x, u(x)) :x∈(0,1)}, einen Kreisbogen mit Radius|H|⁻¹darstellt.

Aufgabe 1.3. (6 Punkte)

Seiu:Rⁿ →Reine Funktion mit kompaktem Tr¨ager. Zeige, dassugenau dann gleichm¨aßig Lipschitz stetig ist, wennu∈W^1,∞(Rⁿ) gilt.

Hinweis: Wennugleichm¨aßig Lipschitz stetig ist, so approximiere die schwachen partiellen Ableitungen von umittels Differenzenquotienten und verwende die schwache Kompaktheit der Einheitskugel im Hilbertr¨aum L²(Rⁿ).

Webseite:http://www.math.uni-konstanz.de/~makowski/veranstaltungen1213.html#VAR Abgabe:Bis Montag, 29.10.2012, 9.55 Uhr, in die Briefk¨asten bei F 411.