Oliver Schn¨urer, Universit¨at Konstanz Wintersemester 2012/2013 Matthias Makowski
Ubungen zur Vorlesung Theorie partieller Differentialgleichungen¨
Blatt 5 Aufgabe 5.1. (4 Punkte)
SeiK(x, y) wie im Theorem ¨uber die Poissonsche Darstellungsformel f¨ur einen Halbraum undn≥2. Zeige, dass f¨ur allex∈Rn+
1 = Z
∂Rn+
K(x, y)dy
gilt. Es gen¨ugt den Beweis f¨urn= 2mmit m∈Ndurchzuf¨uhren.
Hinweis: Zeige die Behauptung per Induktion nachmund verwendenωn = 2πωn−2.
Aufgabe 5.2. (4 Punkte)
Zeige, dass die Funktionu, die wir im Theorem
”Poissonsche Darstellungsformel f¨ur einen Halbraum“ defi- niert haben, inC∞ Rn+
ist.
Aufgabe 5.3. (8 Punkte)
Sein∈N,n≥2. Seir∈R+. Seig∈C0(Br(0)). Seiu∈C2(Br(0)) eine L¨osung des Randwertproblems (−∆u= 0 inBr(0),
u=g auf∂Br(0).
(i) Sei 06=x∈Br(0). Zeige, dassϕx(y) := Φ(|x|r|y−x|) mit der Involution ˜˜ x= |x|r2x2 das Randwertproblem (∆ϕx= 0 inBr(0)
ϕx(y) = Φ(y−x) f¨ury∈∂Br(0) l¨ost. F¨urx= 0 setzen wirϕx≡Φ(r).
(ii) Sei f¨urx, y∈Br(0) mitx6=y die FunktionG(x, y) := Φ(y−x)−ϕx(y) definiert. Verwende Theorem 3.19, um die Darstellung des IntegralkernsK in
u(x) = Z
∂Br(0)
K(x, y)g(y)dy herzuleiten.
Webseite:http://www.math.uni-konstanz.de/~makowski/veranstaltungen1213.html#PDE Abgabe:Bis Montag, 26.11.2012, 9.55 Uhr, in die Briefk¨asten bei F 411.
