Oliver Schn¨urer, Universit¨at Konstanz Wintersemester 2012/2013 Matthias Makowski
Ubungen zur Vorlesung Variationsrechnung¨ Blatt 2
Aufgabe 2.1. (12 Punkte)
Sein∈N+. Sei Ω⊂Rn offen und beschr¨ankt (mit∂Ω∈C1). Seiq∈(1,∞). Seif :Rn×Ω→Reine glatte, nach unten beschr¨ankte Funktion. Wir nehmen weiterhin an, dass die Abbildung
fx:Rn→R, p7→f(p, x), f¨ur allex∈Ω konvex ist. Wir definieren das Funktional
I:W01,q(Ω)→R, u7→
Z
Ω
f(Du(x), x)dx.
(i) Zeige, dass f¨ur allep1, p2∈Rn undx∈Ω
fx(p1)≥fx(p2) +hDfx(p2), p1−p2i gilt.
(ii) Zeige, dassI schwach unterhalbstetig ist.
(iii) Wir nehmen f¨ur diese Teilaufgabe an, dass es Konstantena >0,b≥0 mit f(p, x)≥a|p|q−b
f¨ur allep∈Rn,x∈Ω gibt. Zeige, dass es einen Minimiereru∈W01,q(Ω) vonI[·] gibt.
(iv) Wir nehmen f¨ur diese Teilaufgabe an, dass einλ >0 existiert, so dass f¨ur allex∈Ω und allep, ξ∈Rn D2fx(p)hξ, ξi ≥λ|ξ|2
gilt, d. h. fx ist gleichm¨aßig konvex f¨ur alle x ∈ Ω. Zeige, dass es h¨ochstens einen Minimierer u ∈ W01,q(Ω) vonI[·] gibt.
Aufgabe 2.2. (4 Punkte)
Sein∈N+ und sei Ω⊂Rn offen und beschr¨ankt. Definiere I:W1,2(Ω)→R, v7→
Z
Ω
|∇v|2.
Sei u∈ W1,2(Ω). Nehme an, dass δI[u]hϕi = 0 f¨ur alle ϕ∈ W1,2(Ω) gilt. Zeige, dass uein Minimum des Funktionals ist, d. h. f¨ur allev∈W01,2(Ω) giltI[u]≤I[u+v].
Webseite:http://www.math.uni-konstanz.de/~makowski/veranstaltungen1213.html#VAR Abgabe:Bis Mittwoch, 07.11.2012, 13.25 Uhr, in die Briefk¨asten bei F 411.
