Zeige, dass es einu∈Kgibt, welches die folgende Variationsungleichung erf¨ullt: ∀v∈K:a(u, v−u)≥ hf, v−ui

Oliver Schn¨urer, Universit¨at Konstanz Wintersemester 2012/2013 Matthias Makowski

Ubungen zur Vorlesung Variationsrechnung¨ Blatt 4

Aufgabe 4.1. (8 Punkte)

SeiK⊂H eine nichtleere, abgeschlossene und konvexe Menge eines HilbertraumsH. (i) Seiπ:H →Kdie Abbildung, dief ∈H den Punktu∈Kmit

kf−uk= inf

v∈Kkf −vk

zuordnet. Zeige, dass f¨urf ∈H genau dannu=π(f) gilt, wennu∈Kund hf−u, v−ui ≤0 ∀v∈K

gilt.

(ii) Sei a∈L2(H,R) eine stetige, symmetrische Bilinearform, die gleichm¨aßig positiv ist, d. h. es gibt ein µ >0 mita(v, v)≥µkvk²f¨ur allev∈H. Seif ∈H. Zeige, dass es einu∈Kgibt, welches die folgende Variationsungleichung erf¨ullt:

∀v∈K:a(u, v−u)≥ hf, v−ui.

(iii) Seiudie L¨osung der Variationsungleichung aus Teilaufgabe (ii). Zeige, dassuder eindeutige Minimierer des Funktionals

J :K→R, v7→1

2a(v, v)− hf, vi ist.

(iv) Sei Ω⊂Rⁿ ein beschr¨anktes Gebiet mit ∂Ω∈C¹. Sei f ∈L²(Ω). Seig∈W^1,2(Ω) mitg ≤0 auf∂Ω, d. h. wir fordern max(0, g)∈W₀^1,2(Ω). Wir definieren das Energiefunktional

J :K→R, u7→ 1 2

Z

Ω

|∇u|²dx− Z

Ω

f u dx, wobei

K:={v∈W₀^1,2(Ω) :v(x)≥g(x) f¨ur fast allex∈Ω}

sei. Zeige, dass es eine L¨osung u∈Kdes Hindernisproblems J(u) = inf

v∈KJ(v) gibt.

Aufgabe 4.2. (4 Punkte)

Sei Ω ⊂Rⁿ eine beschr¨ankte, offene Menge. Seien f¨ur i, j ∈ {1, . . . , n} Funktionen a^ij ∈ L^∞(Ω) gegeben.

Nehme an, dass es Konstanten 0< λ≤Λ<∞gibt, so dass f¨ur alleξ∈Rⁿ und fast allex∈Ω λ|ξ|²≤a^ij(x)ξ_iξ_j ≤Λ|ξ|²

gilt. Seiϕ∈W^1,2(Ω)∩C⁰(Ω). Seiu∈W^1,2(Ω)∩C⁰(Ω) eine schwache L¨osung des elliptischen Problems (−(a^ijuj)i= 0, in Ω,

u=ϕ, auf∂Ω.

Zeige, dass

kuk_L∞(Ω)≤sup

∂Ω

|ϕ|

gilt.

Hinweis: Zeige, dass f¨ur u ∈ W^1,2(Ω) auch u⁺ := max{u,0} ∈ W^1,2(Ω) gilt und bestimme die schwache Ableitung vonu⁺.

Aufgabe 4.3. (4 Punkte)

Sei n∈N mitn≥2. SeiB1(0)⊂Rⁿ die Einheitskugel. Sei u∈H^1,2(B1(0),Sⁿ⁻¹)∩C²(B1(0),Rⁿ). Zeige, dassugenau dann eine harmonische Abbildung ist, wennudie Gleichungen

div uⁱDu^j−u^jDuⁱ

= 0 f¨ur alle 1≤i, j≤nerf¨ullt.

Anleitung: Zun¨achst nehmen wir an u sei harmonisch. Seien i, j ∈ {1, . . . , n} gegeben. Sei A = (akl) ∈ R^n×n die Matrix, deren Eintr¨age aij = 1, aji = −1 sind und deren sonstige Eintr¨age verschwinden. Sei ϕ∈C_c^∞(B₁(0)) gegeben. Betrachte die Variationt7→ _|u+tϕAu|^u+tϕAu .

Nehmen wir nun an, dass u die oben gegebenen Gleichungen erf¨ullt. Sei nun v ∈ C_c^∞(B1(0),Rⁿ). F¨ur 1≤i < j ≤ndefinieren wiraij :=uivj−ujvi. Zeige nun, dass

hDu, Dvi − |Du|²hu, vi=X

i<j

hDaij, uⁱDu^j−u^jDuⁱi gilt.

Webseite:http://www.math.uni-konstanz.de/~makowski/veranstaltungen1213.html#VAR Abgabe:Bis Mittwoch, 21.11.2012, 13.25 Uhr, in die Briefk¨asten bei F 411.