(6 Punkte) Sei Ω⊂Rn offen und beschr¨ankt,∂Ω∈Ck,α,k≥1, 0&lt

Oliver Schn¨urer, Universit¨at Konstanz Wintersemester 2013/2014 Matthias Makowski

Ubungen zur Vorlesung Partielle Differentialgleichungen II¨ Blatt 6

Aufgabe 6.1. (6 Punkte)

Sei Ω⊂Rⁿ offen und beschr¨ankt,∂Ω∈C^k,α,k≥1, 0< α≤1. Auf C^k,α(∂Ω) definieren wir eine Norm durch

kuk^E_{Ck,α(∂Ω)}:= infn

kwk_Ck,α(Rⁿ):w∈C_c^k,α(Rⁿ) mitw=u auf ∂Ωo .

Zeige, dassk · k_Ck,α(∂Ω) wie in Aufgabe 5.1 undk · k^E_{Ck,α(∂Ω)}¨aquivalente Normen aufC^k,α(∂Ω) sind.

Bemerkung: Dies zeigt auch, dass Normen k · k_Ck,α(∂Ω) f¨ur unterschiedliche Wahlen von ηi, Φi

¨aquivalent sind.

Aufgabe 6.2. (5 Punkte)

F¨uhre die Details zu den Transformationen im Beweis von Theorem 2.5 aus:

(i) Seiϕ: Ω→Ω ein Diffeomorphismus zwischen offenen Teilmengen des˜ Rⁿundψseine Inverse.

Gelte

a^ijuij+bⁱui+du=f in Ω.

Leite f¨ur ˜u(y) :=u(ψ(y)) eine Differentialgleichung der Form

˜

a^iju˜_ij+ ˜bⁱu˜_i+ ˜d˜u= ˜f in ˜Ω her. Gib ˜a^ij, ˜bⁱ, ˜dund ˜f an und ¨uberpr¨ufe auf Elliptizit¨at.

(ii) Konstruiere einen solchen Diffeomorphismusϕ, so dass f¨ur einx0∈Ω

˜

a^ij(ϕ(x₀)) =δ^ij gilt.

Aufgabe 6.3. (5 Punkte)

(i) Sei Ω ⊂ Rⁿ offen. Sei u ∈ C^k,α(Ω), k ≥ 0, 0 < α ≤ 1. Sei η ein positiver symmetrischer Friedrichscher Gl¨attungskern. Definiere u_ε:=u∗η_ε. Sei Ω⁰ bΩ.

Dann gelten

u_ε →u inC^k,β(Ω⁰) f¨ur alle 0< β < αund

ku_εk_Ck,α(Ω⁰)≤c· kuk_Ck,α(Ω).

(ii) Sei Ω ⊂ Rⁿ offen und beschr¨ankt mit ∂Ω ∈ C^k,α, k ≥ 0, 0 < α ≤ 1. Dann gibt es f¨ur l ∈ N glatte, offene und beschr¨ankte Mengen Ω_l mit Ω ⊂ Ω_l, so dass die R¨ander ∂Ω_l lokal als Graphen darstellenden Funktionen ωl lokal in C^k,α beschr¨ankt sind und lokal in C^k,β, 0< β < α, gegen ω, die∂Ω lokal als Graphen darstellende Funktion, konvergieren.

Hinweis: Benutze eine lokale Graphendarstellung.

Abgabe:

Bis Montag, 02.12.2013, 13:30 Uhr, in der Vorlesung oder am darauffolgenden Tag in den ¨Ubungsgruppen.