(4 Punkte) Sei Ω⊂Rn offen

Oliver Schn¨urer, Universit¨at Konstanz Sommersemester 2013 Matthias Makowski

Ubungen zur Vorlesung Partielle Differentialgleichungen 1a¨ Blatt 1

Aufgabe 1.1. (4 Punkte)

Sei Ω⊂Rⁿ offen. Sei 1≤p <∞und seik∈N. F¨ur eine Funktionu∈W^k,p(Ω) definieren wir

kuk_Wk,p(Ω):=



 X

|α|≤k

Z

Ω

|D^αu|^p





1 p

,

und

kuk_k,p;Ω:= X

|α|≤k

kD^αuk_Lp(Ω). Zeige, dass dies zwei ¨aquivalente Normen auf dem Raum W^k,p(Ω) sind.

Aufgabe 1.2. (4 Punkte)

Sei Ω⊂Rⁿ zusammenh¨angend, offen und beschr¨ankt mit ∂Ω ∈C¹. Wir definieren W := {u∈ W^1,2(Ω) : R

Ωu= 0}und f¨urw∈W setzen wir

kwkW :=

sZ

Ω

|∇w|². Seif ∈L²(Ω)∩W. F¨uru∈W^1,2(Ω) definieren wir

I(u) :=

Z

Ω

1

2|∇u|²+f u.

(i) Zeige, dass (W,k · kW) ein Banachraum ist.

(ii) Begr¨unde, warum das FunktionalI unter allenw∈W einen Minimiererw0∈W besitzt.

(iii) Zeige, dass der Minimiererw0 das FunktionalI auch unter allenu∈W^1,2(Ω) minimiert.

(iv) Gib an, von welchem Randwertproblem der Minimierer eine schwache L¨osung darstellt, d. h. bestimme die Euler-Lagrange Gleichung des Funktionals.

Abgabe:Bis Mittwoch, 24.04.2013, 10.00 Uhr, in der Vorlesung.

Webseite:http://www.math.uni-konstanz.de/~makowski/veranstaltungen13.html#PDE1a