Oliver Schn¨urer, Universit¨at Konstanz Sommersemester 2013 Matthias Makowski
Ubungen zur Vorlesung Partielle Differentialgleichungen 1a¨ Blatt 11
Aufgabe 11.1. (8 Punkte)
SeiT >0,I:= (0, T), und sei Ω⊂Rnoffen und beschr¨ankt. Seif ∈C1(Ω×I). Seiu∈C3;1(Ω×I)∩C0(Ω×I) eine L¨osung der partiellen Differentialgleichung
Lu:=−u˙+ ∆u=f in Ω×I.
Sei M := kukL∞(Ω). Sei Ω0 b Ω offen mit d(Ω0, ∂Ω) > δ. Sei δ > 0. Zeige, dass es eine Konstante c0 = c0(δ, M,kfkC1(Ω×I)) gibt, so dass
kDukL∞(Ω0)≤c0
gilt.
Hinweis: Betrachte f¨ur geeignete KonstantenN, N1 und Punkteξ1, . . . , ξr∈Ω,r∈N, die Funktion v(x, t) :=
t−δ
2
ϕ(x)
n
X
k=1
∂u
∂xk 2
+N u2+eN1(T−t+δ2)
auf den MengenBδ
2(ξi)× 2δ, T
, 1≤i≤r, wobei
ϕ(x) := δ2 4 −
n
X
k=1
x2k
!2
sei.
Webseite:http://www.math.uni-konstanz.de/~makowski/veranstaltungen13.html#PDE1a Abgabe:Bis Mittwoch, 10.07.2013, 10.00 Uhr, in der Vorlesung.
