Zeige, dass dann auchu∈Wm+2,2(Ω) gilt und dass es eine Konstantec=c(n,Ω, L) mit kukWm+2,2(Ω)≤c kϕkWm+2,2(Ω)+kfkWm,2(Ω)+kukWm,2(Ω

Oliver Schn¨urer, Universit¨at Konstanz Sommersemester 2013 Matthias Makowski

Ubungen zur Vorlesung Partielle Differentialgleichungen 1a¨

Blatt 6 Aufgabe 6.1. (4 Punkte)

Sei m ∈ N, m ≥ 2. Sei Ω ⊂ Rⁿ offen und beschr¨ankt mit ∂Ω ∈ C^m+2. Seien f¨ur i, j ∈ {1, . . . , n} die Funktionena^ij ∈C^m+1(Ω),bⁱ, c∈C^m(Ω) gegeben, so dass (a^ij) gleichm¨aßig elliptisch ist. Seienf ∈W^m,2(Ω) undϕ∈W^m+2,2(Ω) gegeben. Seiu∈W^1,2(Ω) eine schwache L¨osung des Randwertproblems

(Lu:=−(a^ijuj)i+bⁱui+cu=f in Ω,

−a^ijujνi=ϕ auf ∂Ω.

Zeige, dass dann auchu∈W^m+2,2(Ω) gilt und dass es eine Konstantec=c(n,Ω, L) mit kukW^m+2,2(Ω)≤c kϕkW^m+2,2(Ω)+kfkW^m,2(Ω)+kukW^m,2(Ω)

. gibt.

Aufgabe 6.2. (4 Punkte)

SeiH ein reeller Hilbertraum und{0} 6=V ⊂H ein abgeschlossener Unterraum. Seien K, B symmetrische, stetige Bilinearformen aufH.

(i) Wir nehmen an,K sei kompakt, d. h. falls (un)_n∈N⊂H schwach inH gegenu∈H konvergiert, dann konvergiert K(un) := K(un, un) gegen K(u), und positiv, d. h. f¨ur alle u6= 0 gilt K(u) > 0. B sei koerziv relativ zu K, d. h. es gibt Konstantenc0, c >0, so dass f¨ur alleu∈H

B(u) :=B(u, u)≥ckuk²−c₀K(u) gilt. Zeige, dass das es einv₀∈V gibt, so dass f¨ur alle 06=v∈V

λ₀:= B(v₀)

K(v0) ≤ B(v) K(v) gilt. Zeige weiterhin, dass f¨ur allev∈V

B(v0, v) =λ0K(v0, v) gilt.

(ii) Verwende Teilaufgabe (i), um Theorem 2.2 aus dem Skript zu beweisen.

Webseite:http://www.math.uni-konstanz.de/~makowski/veranstaltungen13.html#PDE1a Abgabe:Bis Mittwoch, 05.06.2013, 10.00 Uhr, in der Vorlesung.