1) Sei Ω ⊂ E n eine offene Menge und u ∈ C 2 (Ω) eine harmonische Funktion. Man beweise, dass ||∇u|| 2 E

Ubungsaufgaben: Partielle Differentialgleichungen I ¨ Serie 6

Prof. Dr. H.-Ch. Grunau , PD Dr. B. Rummler Wintersemester 2020/21

1) Sei Ω ⊂ E ⁿ eine offene Menge und u ∈ C ² (Ω) eine harmonische Funktion. Man beweise, dass ||∇u|| ² _E

auf Ω subharmonisch ist.

2) (Abgabe-Aufgabe) Seien Ω, Ω ⁰ ⊂ E ⁿ offen und sei Φ : Ω ⁰ → Ω ein C ² -Diffeomorphismus, d.h. Φ ist bijektiv mit Φ ∈ C ² (Ω ⁰ , Ω) und Φ ⁻¹ ∈ C ² (Ω, Ω ⁰ ). Man definiere den Maßtensor G = [g j,k ] j,k=1,...,n durch

G(ξ) = ∂ Φ

∂ξ (ξ) T

· ∂ Φ

∂ξ (ξ) , ξ ∈ Ω ⁰ . (a) Seien u, v ∈ C ¹ (Ω) und ξ ∈ Ω ⁰ . Zeigen Sie, dass

∀ ξ ∈ Ω ⁰ :

∇u(Φ(ξ)) T

· ∇v(Φ(ξ)) =

n

X

k,`=1

g ^k` (ξ) ∂ u e

∂ξ _k (ξ) ∂ e v

∂ξ <sub>`</sub> (ξ), wobei u(ξ) = e u(Φ(ξ)) und e v(ξ) = v (Φ(ξ)) und g <sup>k`</sup> (ξ)

k,`=1,...,n = G ⁻¹ (ξ).

(b) Man setze g(ξ) := det(G(ξ)). Zeigen Sie | det ^∂Φ _∂ξ (ξ)| = √

g in Ω ⁰ . Beweisen Sie hiermit, dass f¨ ur u ∈ C ² (Ω) und v ∈ C ₀ ¹ (Ω) gilt

Z

Ω

v ∆u dx =

n

X

k,`=1

Z

Ω

e v ∂

∂ξ _` √

g g ^k` ∂ e u

∂ξ _k

dξ.

Schließen Sie hieraus, dass

∀ ξ ∈ Ω ⁰ : ∆u(Φ(ξ)) = 1 q g(ξ)

n

X

k,`=1

∂

∂ξ _` q

g(ξ) g ^k` (ξ) ∂ e u

∂ξ _k (ξ)

.

3) Sei Ω ⁰ ⊂ E ⁿ ein Gebiet. Eine Abbildung Φ ∈ C ¹ (Ω ⁰ , E ⁿ ) heißt konform oder auch winkeltreu, falls f¨ ur jedes ξ ∈ Ω ⁰ gilt: k ^∂Φ _∂ξ (ξ)k _S > 0 und U (ξ) := ¹

k

(ξ)k

∂Φ

∂ξ (ξ) eine orthogonale Matrix ist, wobei

k ∂Φ

∂ξ (ξ)k _S = sup

||z||

=1

|| ∂Φ

∂ξ · z|| _E

bezeichnet. Sei Ω ⊂ E ⁿ ein weiteres Gebiet und sei Φ : Ω ⁰ → Ω ein konformer C ² -Diffeomorphismus. Zeigen Sie unter Verwendung von Aufgabe 6.2, dass f¨ ur jedes u ∈ C ² (Ω) gilt:

k ∂ Φ

∂ξ (ξ)k ⁿ _S (∆u) ◦ Φ(ξ) =

n

X

j=1

∂

∂ξ _j k ∂ Φ

∂ξ (ξ)k ⁿ⁻² _S ∂

∂ξ _j (u ◦ Φ)

in Ω ⁰ .

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Bitte wenden !!!

4) Sei B ₁ (0) ⊂ E ⁿ , ϕ ∈ C ⁰ (∂B ₁ (0)), und eine Funktion f ∈ C ² (B ₁ (0)) derart, dass f eine Fortsetzung in den C ₀ ² ( R ⁿ ) besitzt. Man zeige: F¨ ur das Dirichletproblem

−∆u = f in B ₁ (0), u = ϕ auf ∂B ₁ (0) existiert eine L¨ osung u ∈ C ² (B ₁ (0)) ∩ C ⁰ (B ₁ (0)).

5) (a) Sei u eine nichtnegative, in B _R (0) ⊂ E ⁿ harmonische Funktion. Man beweise:

R ⁿ⁻² (R − ||x|| _E

)

(R + ||x|| _E

) ⁿ⁻¹ u(0) ≤ u(x) ≤ R ⁿ⁻² (R + ||x|| _E

) (R − ||x|| _E

) ⁿ⁻¹ u(0).

Hinweis. Verwenden Sie zun¨ achst die Poissonsche Integralformel f¨ ur den Fall R = 1 und anschließend ein Skalierungsargument.

(b) Sei nun u : E ⁿ → E ¹ harmonisch und beschr¨ ankt. Wie folgt aus (a) der Satz von Liouville? ¨ Uberlegen Sie sich, dass es sogar reicht, Beschr¨ anktheit von u nur von unten oder von oben zu fordern.

6) Sei Ω ⁺ ⊂ E ⁿ + := {x ∈ E ⁿ : x _n > 0} ein Gebiet. Mit T bezeichnen wir das relative Innere der Menge ∂Ω ⁺ ∩ {x ∈ E ⁿ : x _n = 0}, welche als nichtleer angenommen wird.

Wir nehmen außerdem an: u ist stetig in Ω ⁺ ∪ T , harmonisch in Ω ⁺ und u = 0 auf T . Zeigen Sie, dass die Funktion

e u(x) :=







u(x) f¨ ur x ∈ Ω ⁺ ∪ T,

−u(x ₁ , . . . , x n−1 , −x _n ) f¨ ur x ∈ Ω ⁻ , harmonisch in Ω ⁺ ∪ T ∪ Ω ⁻ ist, wobei

Ω ⁻ := {x ∈ E ⁿ : [x ₁ , . . . , x n−1 , −x _n ] ^T ∈ Ω ⁺ }.