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11. Es sei Ω ⊂ C ein Gebiet, es sei u : Ω → [−∞, ∞[ subharmonisch und es sei M :=

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Academic year: 2021

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Mathematisches Institut Prof. Dr. R. Braun

D¨ usseldorf, den 07.05.2019 Blatt 5

Ubungen zur Komplexen Analysis ¨

11. Es sei Ω ⊂ C ein Gebiet, es sei u : Ω → [−∞, ∞[ subharmonisch und es sei M :=

sup

z∈Ω

u(z). Zeigen Sie: Falls es ein x ∈ Ω mit u(x) = M gibt, so ist u konstant.

12. Sei Ω ⊂ C offen, sei u : Ω → [−∞, ∞[ subharmonisch, sei K ⊂ Ω kompakt und sei h harmonisch im Innern von K. Zeigen Sie: Falls u(x) ≤ lim inf

y→x

h(y) f¨ ur alle x ∈ ∂K, so gilt u ≤ h im Innern von K.

Hinweis: Verwenden Sie Aufgabe 11.

13. Konstruieren Sie eine subharmonische Funktion u : D → [−∞, ∞[, die nicht kon- stant gleich −∞ ist, aber den Wert −∞ in allen rationalen Punkten von D an- nimmt.

Hinweis: Beim Basteln helfen Satz 3.5 und Korollar 3.9.

Besprechung: 13. Mai

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