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offen und sei ϕ ∈ D(Ω). Zeigen Sie, dass L

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Academic year: 2021

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Mathematisches Institut Prof. Dr. R. Braun

D¨ usseldorf, den 28.05.2019 Blatt 8

Ubungen zur Komplexen Analysis ¨

20. Sei Ω ⊂ C

n

offen und sei ϕ ∈ D(Ω). Zeigen Sie, dass L

2

(Ω) ∼ = L

2

(Ω, ϕ).

Hinweis: Standardm¨ aßig ist der L

2

mit dem Lebesguemaß versehen.

21. Es sei Ω ⊂ C

n

offen, es sei K

1

⊂ K

2

⊂ · · · ⊂ Ω eine kompakte Aussch¨ opfung und f¨ ur j ∈ N sei η

j

∈ D(Ω) mit 0 ≤ η

j

≤ 1 und η

j

(z) = 1 f¨ ur alle z ∈ K

j

. Zeigen Sie die Existenz einer Funktion ψ ∈ C

∞

(Ω), so dass

n

X

k=1

∂η

j

∂z

k

2

≤ e

ψ

f¨ ur alle j ∈ N .

22. Sei Ω ⊂ C

n

offen und seien ϕ

1

, ϕ

2

∈ C(Ω). Wie in der Vorlesung wird ein Operator T vom Hilbertraum L

2p,q

(Ω, ϕ

1

) in den Hilbertraum L

2p,q+1

(Ω, ϕ

2

) definiert durch

D(T) :=

u ∈ L

2p,q

(Ω, ϕ

1

)

∂u ∈ L

2p,q+1

(Ω, ϕ

2

) und T u = ∂u.

Zeigen Sie, dass T abgeschlossen ist.

Hinweis: Im Beweis von Lemma 6.5, der bereits online ist, wird ∂u ausgerechnet.

Besprechung: 3. Juni

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