HHU D ¨ USSELDORF Mathematisches Institut

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HHU D ¨ USSELDORF Mathematisches Institut

Alejandra Garrido 14 November 2017

Seminar zur Darstellungs- und Charaktertheorie endlicher Gruppen Blatt 1

Ubung 1 ¨

Sei n ∈ N , n ≥ 1 und C

_n

= hai die zyklische Gruppe der Ordnung n, von einem Element a erzeugt.

1. Finden Sie n paarweise nicht-¨ aquivalente irreduzible komplexe Darstellungen der Gruppe C

_n

.

2. Erkl¨ aren Sie, warum es keine weiteren sochen Darstellungen gibt.

3. Zerlegen Sie die Gruppenalgebra C C

_n

, betrachted als C C

_n

-Modul, als direkte Summe von irreduziblen C C

n

-Untermoduln.

Ubung 2 ¨

Sei G die Diedergruppe der Ordnung 8, mit der Pr¨ asentierung

ha, b | a

⁴

= b

²

= 1, b

⁻¹

ab = a

⁻¹

i.

1. Finden Sie einen 1-dimensionalen Untermodul, sp(u

₁

), von C G so, dass gelten : u

₁

a = u

₁

und u

₁

b = −u

₁

.

2. Finden Sie 1-dimensionale Untermoduln, sp(u

₂

) und sp(u

₃

) von C G, so, dass gelten :

u

2

a = −u

2

, u

2

b = u

2

und u

3

a = −u

3

, u

3

b = −u

3

.

3. Finden Sie alle irreduziblen C G-Moduln (bis auf Isomorphie).

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