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a) Zeigen Sie, dass mit ~ ω = ω ω ˆ das Vektorpotential durch den Ausdruck A(r) = ~ ω

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Academic year: 2021

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Prof. Dr. R. Egger WS 2016/17 Blatt 6

Ubungen zur Vorlesung: Elektrodynamik ¨

Abgabe bis Freitag, 02.12.2016, 12:00 Uhr Ubungstermin: Montag, 05.12.2016 ¨

Aufgabe 14: Magnetfeld einer rotierenden geladenen Kugel 12 Punkte Betrachten Sie eine Kugel mit Radius R und vorgegebener Ladungsverteilung ρ(r) mit Gesamtladung Q. Die Ku- gel rotiere mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω um eine Achse ˆ ω, die durch den Mittelpunkt der Kugel verl¨ auft.

a) Zeigen Sie, dass mit ~ ω = ω ω ˆ das Vektorpotential durch den Ausdruck A(r) = ~ ω

c × Z

d 3 r 0 ρ(r 0 )

|r − r 0 | r 0

gegeben ist. (3 Punkte)

b) Nehmen Sie nun an, dass die Kugel metallisch ist. Bestimmen Sie das Vektorpotential sowohl innerhalb als auch

ausserhalb der Kugel. (3 Punkte)

Hinweis: Mit Konstanten a, b gilt R dx x

a−bx = − 3b 2

2

(2a + bx) √ a − bx.

c) Berechnen Sie f¨ ur den in b) betrachteten Fall das Magnetfeld B und diskutieren Sie das Resultat. Sind die Normal- bzw. Tangentialkomponenten von B an der Kugeloberfl¨ ache stetig? (3 Punkte)

d) Welches Magnetfeld finden Sie im Aussenbereich r > R f¨ ur eine homogen geladene Kugel? Vergleichen Sie mit

dem Resultat aus Teilaufgabe c). (3 Punkte)

Aufgabe 15: Eichtransformationen 8 Punkte

In der Elektrodynamik ist es vorteilhaft, das Skalarpotential ϕ(r, t) und das Vektorpotential A(r, t) einzuf¨ uhren.

Dann sind das elektrische bzw. magnetische Feld durch E(r, t) = −∇ϕ − 1

c

∂t A, B(r, t) = ∇ × A gegeben.

1

(2)

Ubungen zur Vorlesung: Elektrodynamik, Blatt 6 ¨

a) Zeigen Sie, dass bei Verwendung der Potentiale die homogenen Maxwellgleichungen

∇ · B = 0, ∇ × E + 1 c

∂t B = 0

identisch erf¨ ullt sind. (2 Punkte)

b) Die Potentiale sind nicht eindeutig sondern erlauben eine allgemeine Eichtransformation ϕ → ϕ 0 = ϕ − ∂

∂t Λ, A → A 0 = A + c∇Λ,

wobei Λ(r, t) eine beliebige Funktion der Raumzeit-Koordinaten ist. Zeigen Sie, dass die Felder E und B inva-

riant unter Eichtransformationen sind. (2 Punkt)

c) Wie muss Λ gew¨ ahlt werden, damit die Lorenz-Eichung,

∇ · A + 1 c

∂t ϕ = 0

gilt? Sind die Potentiale dann eindeutig? Wann ist diese Eichung angebracht? (1 Punkt)

d) Wie muss Λ bei der Coulomb-Eichung, ∇ · A = 0, gew¨ ahlt werden? Sind die Potentiale dann eindeutig? Wann

verwendet man diese Eichung? (1 Punkt)

e) Wie muss Λ bei der axialen Eichung, A z = 0, gew¨ ahlt werden? Sind die Potentiale dann eindeutig? (1 Punkt)

f) Wie muss Λ bei der Strahlungseichung, ∇ · A = 0 und ϕ = 0, gew¨ ahlt werden? Wann kann diese Eichung

verwendet werden? (1 Punkt)

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