Aufgabe 11. Es sei U ⊂ R
2mit
U := {(x, y) ∈ R
2: x
2− xy + y
2≤ 2}.
Bestimmen Sie
Z
U
(x
2− xy + y
2)dxdy
mit Hilfe des Transformationssatzes, indem Sie folgende Transformationen nutzen
x = √
2u − q
2
3
v und y = √ 2u +
q
2 3v.
Wir setzen
f (x, y ) := x
2− xy + y
2und erhalten mit obigen Transformationen
f √
2u − q
23
v, √ 2u +
q
2 3v
= 2u
2+ 2v
2.
Aus
x
2− xy + y
2≤ 2 erhalten wir
u
2+ v
2≤ 1.
Wir setzen
U
0:= {(u, v) ∈ R
2: u
2+ v
2≤ 1}.
Die dazugeh¨ orige Funktionaldeterminante ist
∂(x, y)
∂(u, v)
=
√ 2 − q
2
√
32 q
23
= 4
√ 3 .
Mit dem Transformationssatz folgt Z
U
(x
2− xy + y
2)dxdy = Z
U0
2(u
2+ v
2) 4
√ 3 dudv.
Zur Evaluation des Integrals auf der rechten Seite bietet es sich in Polarkoordina- ten zu wechseln (also u = r cos θ und v = r sin θ mit 0 ≤ r ≤ 1 und 0 ≤ θ ≤ 2π).
Die Funktionaldeterminante bei einem Wechsel zu Polarkoordinaten ist bekann- termaßen r. Wir haben also (mit erneuter Anwendung des Transformationssatzes)
Z
U0
2(u
2+ v
2) 4
√ 3 dudv = 8
√ 3 Z
2π0
Z
1 0r
2rdrdθ = 8
√ 3 Z
2π0
h
r4 4i
10
![heißtRekalibrierung,fallsgilt: ( ∀ ( u,v ) ∈ A )[ r ( u )+d( r : V → R ( u,v ) ≥ 0 ( u,v ):=d( 4.4DerAlgorithmusvonJohnson Sei d: Beobachtung: d ).Setze d d Definition113 u,v u,v A → ) )+ ≥ R r r ( eineDistanzfunktion.EineAbbildung ( u v ) )] − r Sei ( v )](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)