Aufgabe 1. Sei B ∈ R

(1)

Prof. C. P. Schnorr Sommersemester 2009

Gitter und Kryptographie

Blatt 2, 24.04.2009, Abgabe Mittwoch, 06.05.2009

Aufgabe 1. Sei B ∈ R

^m×n

Basismatrix, Rang B = n . Zeige B ist eindeutig zerlegbar als B = QR mit Q ∈ R

^m×n

isometrisch und R = [r

i,j

] ∈ R

^n×n

obere Dreiecksmatrix mit r

_i,i

> 0 für i = 1, . . . , n .

Aufgabe 2. Sei A = A

^t

= [a

_i,j

] ∈ R

^n×n

regulär. Zeige, dass es eine ein- deutige Zerlegung A = R

^t

DR gibt, derart, dass R = [r

_i,j

] ∈ R

^n×n

eine obere Dreiecksmatrix ist (also r

_i,j

= 0 für i > j und r

_i,i

> 0 ) und D Diagonalmatrix mit Diagonale (σ

₁

, . . . , σ

_n

) ∈ {±1}

ⁿ

.

Aufgabe 3. Zeige: Für jede Basis b

₁

, ..., b

_n

∈ Z

^m

gilt für D

_i

:= (det L(b

₁

, ..., b

_i

))

²

gilt: 1. D

i−1

b

^∗_i

∈ Z

^m

, 2. D

_j

µ

_i,j

∈ Z für j < i .

Hinweis: Lemma 4.2.3, Skript.

Aufgabe 4. Sei B =







1 0

0 1

aN bN







Basismatrix mit a, b, N ∈ Z. Zeige:

1. det L = (1 + N

²

(a

²

+ b

²

))

^1/2

, 2. Für N > q

4

3

(a

²

+ b

²

)

^1/2

gilt für jede reduzierte Basis b

₁

, b

₂

:

b

1

=







∗

∗ 0







, b

2

=







∗

∗ N · ggT(a, b)





 .

Hinweis. Benutzen Sie dass : kb

₁

k

²

≤ q

4

3

det L = q

4

3

(det B

^t

B )

^1/2

für jede reduzierte Basis B = [b

₁

, b

₂

] .