Aufgabe 1. Sei B =

(1)

Prof. C. P. Schnorr Sommersemester 2013

Gitter und Kryptographie

Blatt 3, 08.05.2013, Abgabe Mittwoch, 15.05.2013

Aufgabe 1. Sei B =







1 0

0 1

aN bN





 Basismatrix mit a, b, N ∈ Z. Zeige:

1. det L(B) = (1 + N ² (a ² + b ² )) ^1/2 , 2. λ ² ₁ L(B) ≤ a ² + b ²

3. Für N ² > a ² + b ² gilt für jede Gauss-reduzierte Basis b ₁ , b ₂ : b 1 = (∗, ∗, 0) ^t , b 2 = (∗, ∗, N · ggT(a, b)) ^t .

Hinweis zu 2. Es gilt ±(a, −b, 0) ^t ∈ L(B) . Der Eukl. Alg. löst [a, b]

"

c d e f

#

= [0, ggT(a, b)] so dass c ² + e ² , d ² + f ² ≤ a ² + b ² .

Aufgabe 2. (Worst Case Gitterbasis zur Gauss-Reduktion k k = k k ₂ ) Sei b ₁ , b ₂ ∈ R ⁿ eine reduzierte Basis und [b _k , b _k+1 ] := [b ₁ , b ₂ ]

"

0 1 1 2

# k−1

. Zeige für k = 2, 3, . . . :

1. d ^hb _hb

^k+1

^,b

^k

ⁱ

k

,b

k

i c = 2, kb _k k ≤ kb _k+1 k .

2. Die Basis b _k , b _k+1 ist wohlgeordnet, d.h. kb _k k ≤ kb _k − b _k+1 k ≤ kb _k+1 k . und wird in einer Runde der Gauss-Reduktion in b k−1 , b _k transformiert.

Hinweis : Satz 3.2.1 im Skript beweist, dass [b _k , b _k+1 ] , minimale k -te Vorän- gerbasis zu b ₁ , b ₂ ist.

Aufgabe 3. Sei p Primzahl mit p = 1 mod 4 , i ² = −1 mod p und L _p = {(a, b) ^t ∈ Z ² : a − ib = 0 mod p } . Zeige:

1. det L p = p , und λ ² ₁ (L p ) = p

2. Löse 269 = a ² ₀ + a ² ₁ mit a ₀ , a ₁ ∈ N mittels Gauss-Reduktion.

Hinweis: Für (a, b) ^t ∈ L _p gilt a ² + b ² = 0 mod p . λ ² ₁ ≤ q

4 3 det L _p .

Punktzahl pro Aufgabe: 5

Aufgabe 1. Sei B =

Prof. C. P. Schnorr Sommersemester 2013

Gitter und Kryptographie

Blatt 3, 08.05.2013, Abgabe Mittwoch, 15.05.2013

Aufgabe 1. Sei B =







1 0

0 1

aN bN





 Basismatrix mit a, b, N ∈ Z. Zeige:

1. det L(B) = (1 + N 2 (a 2 + b 2 )) 1/2 , 2. λ 2 1 L(B) ≤ a 2 + b 2

3. Für N 2 > a 2 + b 2 gilt für jede Gauss-reduzierte Basis b 1 , b 2 : b 1 = (∗, ∗, 0) t , b 2 = (∗, ∗, N · ggT(a, b)) t .

Hinweis zu 2. Es gilt ±(a, −b, 0) t ∈ L(B) . Der Eukl. Alg. löst [a, b]

"

c d e f

#

= [0, ggT(a, b)] so dass c 2 + e 2 , d 2 + f 2 ≤ a 2 + b 2 .

Aufgabe 2. (Worst Case Gitterbasis zur Gauss-Reduktion k k = k k 2 ) Sei b 1 , b 2 ∈ R n eine reduzierte Basis und [b k , b k+1 ] := [b 1 , b 2 ]

"

0 1 1 2

# k−1

. Zeige für k = 2, 3, . . . :

1. d hb hb

,b

i

,b

i c = 2, kb k k ≤ kb k+1 k .

2. Die Basis b k , b k+1 ist wohlgeordnet, d.h. kb k k ≤ kb k − b k+1 k ≤ kb k+1 k . und wird in einer Runde der Gauss-Reduktion in b k−1 , b k transformiert.

Hinweis : Satz 3.2.1 im Skript beweist, dass [b k , b k+1 ] , minimale k -te Vorän- gerbasis zu b 1 , b 2 ist.

Aufgabe 3. Sei p Primzahl mit p = 1 mod 4 , i 2 = −1 mod p und L p = {(a, b) t ∈ Z 2 : a − ib = 0 mod p } . Zeige:

1. det L p = p , und λ 2 1 (L p ) = p

2. Löse 269 = a 2 0 + a 2 1 mit a 0 , a 1 ∈ N mittels Gauss-Reduktion.

Hinweis: Für (a, b) t ∈ L p gilt a 2 + b 2 = 0 mod p . λ 2 1 ≤ q

4

3 det L p .

Punktzahl pro Aufgabe: 5

1. det L(B) = (1 + N ² (a ² + b ² )) ^1/2 , 2. λ ² ₁ L(B) ≤ a ² + b ²

3. Für N ² > a ² + b ² gilt für jede Gauss-reduzierte Basis b ₁ , b ₂ : b 1 = (∗, ∗, 0) ^t , b 2 = (∗, ∗, N · ggT(a, b)) ^t .

Hinweis zu 2. Es gilt ±(a, −b, 0) ^t ∈ L(B) . Der Eukl. Alg. löst [a, b]

= [0, ggT(a, b)] so dass c ² + e ² , d ² + f ² ≤ a ² + b ² .

Aufgabe 2. (Worst Case Gitterbasis zur Gauss-Reduktion k k = k k ₂ ) Sei b ₁ , b ₂ ∈ R ⁿ eine reduzierte Basis und [b _k , b _k+1 ] := [b ₁ , b ₂ ]

1. d ^hb _hb

^,b

ⁱ

i c = 2, kb _k k ≤ kb _k+1 k .

2. Die Basis b _k , b _k+1 ist wohlgeordnet, d.h. kb _k k ≤ kb _k − b _k+1 k ≤ kb _k+1 k . und wird in einer Runde der Gauss-Reduktion in b k−1 , b _k transformiert.

Hinweis : Satz 3.2.1 im Skript beweist, dass [b _k , b _k+1 ] , minimale k -te Vorän- gerbasis zu b ₁ , b ₂ ist.

Aufgabe 3. Sei p Primzahl mit p = 1 mod 4 , i ² = −1 mod p und L _p = {(a, b) ^t ∈ Z ² : a − ib = 0 mod p } . Zeige:

1. det L p = p , und λ ² ₁ (L p ) = p

2. Löse 269 = a ² ₀ + a ² ₁ mit a ₀ , a ₁ ∈ N mittels Gauss-Reduktion.

Hinweis: Für (a, b) ^t ∈ L _p gilt a ² + b ² = 0 mod p . λ ² ₁ ≤ q

3 det L _p .