Aufgabe 1. Sei X

(1)

Stochastik Prof. Dr. I. Veseli´ c

Hausaufgabe 13

Abgabe bis 12. Juli 13:00 Uhr

Aufgabe 1. Sei X

1

, X

2

, . . . eine Folge von Zufallsvariablen mit E(X

i

) = m und Var(X

i

) = σ

²

f¨ ur i ∈ N . Es gelte

|Cov(X

_i

, X

_j

)| ≤ r(|i − j|)

f¨ ur eine Funktion r : N → (0, ∞). Zeigen Sie, daß unter der Bedingung 1

n

²

n−1

X

k=1

(n − k)r(k) → 0 f¨ ur n → ∞ (1)

an das

” Abklingen“ der Korrelationen das schwache Gesetz der großen Zahlen gilt, d. h.

n→∞

lim P

X

₁

+ X

₂

+ . . . + X

_n

n − m

> ε

= 0 ∀ ε > 0.

Zeigen Sie, um einen Zusatzpunkt zu bekommen, daß die Bedingung lim

k→∞

r(k) = 0 die Bedin- gung (1) impliziert.

Hinweis: Definieren Sie sich die Zufallsvariable S

n

= X

1

+. . .+X

n

. F¨ ur eine reelle Zufallsvariable X gilt E ((X − E (X))

²

) = Var(X). Beachten Sie Var(S

n

) = P

n

i,j=1

Cov(X

i

, X

j

).

Aufgabe 2. (a) Eine M¨ unze wird wiederholt geworfen. Bei jedem Wurf f¨ allt

” Zahl“ mit Wahr- scheinlichkeit p und

” Kopf“ mit Wahrscheinlichkeit 1 − p. Seien K

n

und Z

n

die Anzahlen von

” Kopf“ beziehungsweise

” Zahl“ bei den ersten n W¨ urfen. Zeigen Sie f¨ ur ε > 0 P

2p − 1 − ε ≤ 1

n (Z

n

− K

n

) ≤ 2p − 1 + ε

= 1.

Hinweis: Nutzen Sie das schwache Gesetz der großen Zahlen.

(b) Beim asymmetrischen random walk S

_n

, n ∈ N

0

, auf Z wird vor jedem Bewegungsschritt eine M¨ unze mit Wahrscheinlichkeit p 6= 1/2 f¨ ur

” Zahl“ und 1 − p f¨ ur

” Kopf“ geworfen. F¨ allt

” Kopf“ bzw.

” Zahl“, dann f¨ allt bzw. steigt die Position im n¨ achsten Schritt um eine Einheit.

Zeigen Sie, daß S

_n

mit Wahrscheinlichkeit 1 nur endlich oft zum Startpunkt zur¨ uckkehrt.

Hinweis: Die Stirling-Formel k¨ onnte n¨ utzlich sein.

Definition. Sei µ ein endliches Maß auf R . Dann heißt Φ = Φ

µ

: R → C , Φ(t) =

Z

R

e

^itx

dµ(x) charakteristische Funktion von µ.

Aufgabe 3. Beweisen Sie die folgende Aussage. Sei µ ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf R und Φ dessen charakteristische Funktion. Dann gilt

(1) |Φ(t) − Φ(s)|

²

≤ 2(1 − <(Φ(t − s))) f¨ ur alle s, t ∈ R .

(2)

(2) t 7→ Φ(t) ist gleichm¨ aßig stetig auf R .

Definition. Seien (Ω, A, P ),(Ω

_n

, A

_n

, P

n

), n ∈ N Wahrscheinlichkeitsr¨ aume. Seien X : Ω → R und X

_n

: Ω

_n

→ R Zufallsvariablen. Wir bezeichnen mit µ = P ◦ X

⁻¹

und µ

_n

= P

_n

◦ X

_n⁻¹

deren Verteilungen (also Wahrscheinlichkeitsmaße auf R). Dann konvergiert die Folge der Zufallsvaria- blen X

_n

gegen X in Verteilung, kurz X

_n

→

^D

X, falls f¨ ur alle beschr¨ ankten, gleichm¨ aßig stetigen Funktionen f auf R gilt

Z

S

fdµ

n

→ Z

S

f dµ.

Aufgabe 4. Beweisen Sie die folgende Aussage. Sei (Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Seien weiterhin X, X

n

: Ω → R , n ∈ N Zufallsvariablen. Dann gilt

X

_n

→

^P

X ⇒ X

_n

→

^D

X. Zusatzaufgabe. Martin und Fabian gehen neue B¨ urost¨ uhle kaufen und stellen sich an unter- schiedlichen Kassen an. X und Y seien die zuf¨ alligen Wartezeiten von Martin und Fabian. Wir nehmen an, dass X und Y stochastisch unabh¨ angig und jeweils exponentialverteilt mit Parame- ter 1 sind; die Wahrscheinlichkeitsdichte von X bzw. Y ist also f (x) = exp(−x) f¨ ur x > 0, und f (x) = 0 f¨ ur x ≤ 0.

(a) Martin muss dringend auf Toilette. Er kann es gerade noch 2 Zeiteinheiten anhalten. Er fragt sich:

” Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist meine Wartezeit gr¨ oßer als 2?“ Helfen Sie Ihm!

(b) Geben Sie die gemeinsame Dichte von X und Y , also die Wahrscheinlichkeitsdichte des Vek- tors (X, Y ), an.

(c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Wartezeit sowohl von Martin als auch von Fabian gr¨ oßer als 2 ist?

(d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die l¨ angere der beiden Wartezeiten gr¨ oßer als 2 ist?

(e) Fabian hat draußen einen Eistand entdeckt der von alten Bekannten betrieben wird. Nun m¨ ochte er heimlich zwei Softeis kaufen und Martin damit ¨ uberraschen. Er fragt sich: