Aufgabe 1. Eine Münze mit Wahrscheinlichkeit p ≥ 1/2 für „Zahl“ wird wiederholt geworfen. Sei A

Technische Universität Chemnitz Stochastik Fakultät für Mathematik

Prof. Dr. I. Veselić, C. Schumacher, F. Schwarzenberger, M. Tautenhahn

Hausaufgabe 7

Abgabe am 27. Mai bzw. am 29. Mai in der Übung

Aufgabe 1. Eine Münze mit Wahrscheinlichkeit p ≥ 1/2 für „Zahl“ wird wiederholt geworfen. Sei A

, k ∈ N , das Ereignis, dass bei den Würfen 2

, 2

+ 1, . . . , 2

− 1 mindestens k mal in Folge „Zahl“ fällt. Zeigen Sie, dass

P (A

tritt für unendlich viele k ein) = 1.

Hinweis: Definieren Sie das Ereignis E

= {X

= 1 für alle j = 2

+ ik, 2

+ ik + 1, . . . , 2

+ ik + k − 1}, k ∈ N und i = 0, . . . b2

/k − 1c. Benutzen Sie einen Satz von Borel-Cantelli.

Aufgabe 2. Sie haben sich im Nationalpark von Oberrabenstein verlaufen. Von den Besuchern im Park sind zwei Drittel Touristen. Fragen nach der Richtung zum Ausgang werden von diesen mit Wahrscheinlichkeit 3/4 richtig beantwortet. Die Touristen sind sich jedoch unsicher und ändern manchmal ihre Meinung. Daher kommt es, dass die Antworten ein und desselben Touristen bei mehrmaligem Nachfragen unabhängig voneinaner sind.

Wenn man hingegen einen Oberrabensteiner fragt, ist die Antwort immer falsch.

(a) Sie fragen eine Person, ob der Ausgang sich in Richtung Osten oder Westen befindet.

Als Antwort erhalten Sie Osten. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das stimmt?

(b) Sie fragen dieselbe Person nochmals und bekommen dieselbe Antwort. Zeigen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit, nun die richtige Antwort erhalten zu haben, 1/2 beträgt.

(c) Sie richten dieselbe Frage ein drittes Mal an dieselbe Person. Wieder mit der Antwort Osten. Wie hoch ist jetzt die Wahrscheinlichkeit, dass die Antwort stimmt?

(d) Ein viertes Mal wird der geduldige Passant von ihnen gefragt, doch die Antwort ist wieder Osten. Zeigen Sie, dass die Antwort mit Wahrscheinlichkeit 27/70 richtig ist.

(e) Zeigen Sie für den Fall, dass die vierte Antwort Westen wäre, dass die Richtung Osten mit Wahrscheinlichkeit 9/10 zutrifft.

Aufgabe 3. Angenommen, die Anzahl der Geburten an einem Tag in einem Krankenhaus ist Poissonverteilt mit Parameter λ. Jede Geburt ist ein Junge mit Wahrscheinlichkeit p und ein Mädchen mit Wahrscheinlichkeit q = 1 − p, unabhängig von anderen Geburten und unabhängig von der Gesamtzahl der Geburten. Seien J und M die Zahl der Jungen beziehungsweise Mädchen.

(a) Zeigen Sie P (J = j, M = m) = (λp)

e

j! · (λq)

e

m! .

(b) Folgern Sie, J und M sind unabhängig und Poissonverteilt mit Parameter λp bzw. λq.

Aufgabe 4. Es seien X und Y reellwertige Zufallsgrößen auf einem Wahrscheinlichkeits- raum (Ω, A, P ). Zeigen Sie:

(a) Falls Y mit Wahrscheinlichkeit Eins konstant ist, so sind X und Y unabhängig.

(b) Sind X und Y unabhängig, so gilt für jedes A ∈ σ(X) ∩ σ(Y )

P (A) = 0 oder P (A) = 1.

(c) Sei Y nichtnegativ. Y ist genau dann σ(X)-messbar, wenn es eine Borel-messbare Funktion g : R → [0, ∞] gibt mit Y = g ◦ X.

Hinweis: Für Teil (c) könnte ein Approximationssatz aus der Maßtheorie nützlich sein.