Aufgabe 1. Sei E

Prof. C. P. Schnorr Sommersemester 2015

Kryptographie

Blatt 4, 13.05.2015, Abgabe 20.05.2015

Aufgabe 1. Sei E

( K ) elliptische Kurve. Zeige:

1. für alle (¯ x, y) ¯ ∈ E

( K ): ord(¯ x, y) = 2 ¯ gdw x ¯

+ a¯ x + b = 0.

2. E

( K ) zyklisch = ⇒ #Nullstellen von x

+ ax + b = 0 ist ≤ 1.

3. |E

( K )| ist ungerade gdw x

+ ax + b keine Nullstelle in K hat.

Aufgabe 2. Sei q prim. Zeige:

1. |E

( Z

)| = q + 1 für q = 2 mod 3, b ∈ Z

. 2. |E

( Z

)| = q + 1 für q = 3 mod 4, a ∈ Z

.

Hinweis: 1. x 7→ x

ist Bijektion von Z

für q = 2 mod 3.

2. Für q = 3 mod 4 gilt −1 6∈ ( Z

)

weil

ungerade ist.

Aufgabe 3. Ein Fälscher will DSA-Signaturen zur Nachricht „Einzugser- mächtigung über 100 EURO zugunsten des XYZ-Service Providers“ für viele öffentliche Schlüssel h fälschen. Hierzu benutzt er den vom NIST vorgeschla- genen SHA H, wählt geeignete Parameter G = hgi ⊂ Z

, q und fordert zu jedem h eine DSA-Signatur zu „Testnachricht“.

1. Wie wählt der Fälscher p, g, q ?

2. Wie gefährlich ist die Attacke ? Gibt es Schutzmaßnahmen ? 3. Warum geht dieser Angriff nicht für Schnorr Signaturen ? Hinweis:

Serge Vaudenay: Hidden Collisions on DSS, Crypto 96, LNCS 1109 pp.83-88.

Punktzahl pro Aufgabe 5