Aufgabe 1. Sei B

Prof. C. P. Schnorr Sommersemester 2016

Gitter und Kryptographie

Blatt 4, 06.05.2016, Abgabe Freitag, 13.05.2016

Aufgabe 1. Sei B

= R

= [r

, . . . , r

] die GNF des Leech-Gitters.

Zeige λ

(L(R

)) = 4 mit der Beweismethode zu Lemma 2.2.3, Teil 2.

Hinweis: Für r := P

i=1

t

r

∈ L(R

), t

∈ Z , e r := r

− π

(r

) ∈ span(R

) gilt R

e r

∈ Z

, || e r||

= 4 −

. Es folgt

||r + t

r

||

= ||r + t

e r||

+ ||t

π

(r

)||

∈ (4 + t

(−1/8 + 1/8)) N . λ

(L(R

)) = 4, R

R

∈ 4 Z

, ||r

||

∈ 4 N sind schon gezeigt.

Aufgabe 2 Die geschichteten Gitter Λ

der Dimension n mit λ

(Λ

) = 4 haben nach Conway, Sloane Table 6.1 für n = 4, 8, 12, 16, 20, 24 Determinante det(Λ

) = 8, 16, 32, 16, 8, 1 und nach Table 1.2 die zentrierte Dichte δ = 1/ det(Λ

) = 1/8, 1/16, 1/32, 1/16, 1/8, 1. (In Table 6.1 ist λ

= det(Λ

)

) Zeige: dies sind auch die δ der L(R

) der Untermatrizen R

der ersten n Zeilen und Spalten der GNF des Leech–Gitter für n = 4, 8, . . . , 24.

Aufgabe 3. Sei p Primzahl mit p = 1 mod 4, i ∈ Z und i

= −1 mod p und L

das Gitter L

= {(a, b)

∈ Z

: a − ib = 0 mod p }. Zeige:

1. det L

= p, und λ

(L

) = p

2. Löse 269 = a

+ a

mit a

, a

∈ N mittels Gauss-Reduktion.

Hinweis: Für (a, b)

∈ L

gilt a

+ b

= 0 mod p, ferner λ

≤ q

4

3

det L

.

Punktzahl 5 pro Aufgabe