Aufgabe 1 (Lognormal-Verteilung). Sei m ∈ R , v ∈ R

Technische Universit¨ at Chemnitz Statistik Fakult¨ at f¨ ur Mathematik

Prof. Dr. I. Veseli´ c, M. Tautenhahn

Hausaufgabe 5

Abgabe bis 05. Januar 07:30

Aufgabe 1 (Lognormal-Verteilung). Sei m ∈ R , v ∈ R

und X eine N

-verteilte Zufallsvariable, d. h. X besitzt die Verteilungsdichte

ρ

(t) = 1

√ 2πv e

.

Berechnen Sie die Verteilungsdichte und den Erwartungswert von Y := e

. Die Verteilung von Y heißt die Lognormal-Verteilung zu m und v.

Aufgabe 2 (Bivariate Normalverteilung). Sei

C =

v

c c v

mit v

v

> c

und φ : R

→ R

,

φ

(x) = 1

2π|det C|

e

,

die Dichtefunktion der zugeh¨ origen bivariaten zentrierten Normalverteilung. Zeigen Sie:

(a) Die H¨ ohenlinien {x ∈ R

: φ

(x) = h} mit 0 < h < (2π √

det C)

sind Ellipsen.

Bestimmen Sie die Hauptachen! (Hinweis: Hauptachsentransformation)

(b) Die Schnitte R 3 t 7→ φ

(a + tb) mit a, b ∈ R

, b 6= 0 sind proportional zu eindimensionalen Gauß’schen Dichten φ

.

Aufgabe 3 (Maximum Entropie). Sei C eine positiv definite symmetrische n × n Matrix und W

die Klasse aller Wahrscheinlichekeitsmaße P auf ( R

, B

) mit den Eigenschaften (i) P ist zentriert mit Kovarianzmatrix C, d. h. f¨ ur die Projektionen X

: R

→ R gilt

E (X

) = 0 und Cov(X

, X

) = C

f¨ ur alle i, j ∈ {1, 2, . . . , n}, und

(ii) P besitzt eine Dichtefunktion ρ, und es existiert die differentielle Entropie

H( P ) = − Z

Rⁿ

ρ(x) log ρ(x) dx.

Zeigen Sie

H(N

(0, C)) = n 2 log

2πe(det C)

= max

P∈W_C

H( P ).

Bitte wenden!

Aufgabe 4 (Konfidenzintevall im Gauß’schen Produktmodell). Betrachten Sie das Gauß’sche Produktmodell ( R

, B

, N

: m ∈ R , v > 0) mit dem unbekannten Parameter ϑ = (m, v) ∈ R × (0, ∞) =: Θ. Zu gegebenen α ∈ (0, 1) seien

• β

= (1 ± √

1 − α)/2,

• u = φ

(β

) das β

-Quantil der N

-Verteilung sowie

• c

= χ

die β

-Quantile der χ

-Verteilung.

Zeigen Sie, dass

C(x) =

(m, v) ∈ Θ : |m − M (x)| ≤ u r v

n , (n − 1) V

(x)

c

≤ v ≤ (n − 1) V

(x) c

ein Konfidenzbereich f¨ ur ϑ zum Irrtumsniveau α ist. Dabei bezeichnet M das Stichpro-

benmittel und V

die korrigierte Stichprobenvarianz. Machen Sie eine Skizze von C(x)

f¨ ur einen fixierten Beobachtungswert x ∈ R

.