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Technische Universit¨ at Chemnitz Statistik, WS 12/13 Fakult¨ at f¨ ur Mathematik

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Academic year: 2021

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Technische Universit¨ at Chemnitz Statistik, WS 12/13 Fakult¨ at f¨ ur Mathematik

Prof. Dr. I. Veseli´ c, Dr. M. Tautenhahn

Hausaufgabe 3

Abgabe am 19.11.2013 in der Vorlesung

Aufgabe 1 (Maximum-Likelihood – Exponentialverteilung). Wir betrachten die Le- bensdauer eines technischen Produktes. Es werde angenommen, dass die Lebensdauer eines Ger¨ ates exponentialverteilt ist mit unbekannten Parameter ϑ > 0, unabh¨ angig f¨ ur alle Ger¨ ate. Es werden n Ger¨ ate untersucht.

(a) Berechnen Sie einen Maximum-Likelihood-Sch¨ atzer f¨ ur ϑ.

(b) Berechnen Sie einen Maximum-Likelihood-Sch¨ atzer f¨ ur die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ger¨ at vor Ablauf der Garantiefrist t defekt wird.

Aufgabe 2 (Maximum-Likelihood – Poissonverteilung). F¨ ur ein n ∈ N sind (X

i

)

i∈{1,...,n}

unabh¨ angige Zufallsvariablen, die jeweils Poissonverteilt mit (unbekanntem) Parameter λ sind. Berechnen Sie f¨ ur gegebene Beobachtungswerte (x

i

)

i∈{1,...,n}

einen Maximum- Likelihood-Sch¨ atzer T

n

f¨ ur λ.

(a) Ist dieser Sch¨ atzer der einzige Maximum-Likelihood-Sch¨ atzer f¨ ur λ?

(b) Ist T

n

erwartungstreu?

(c) Ist T

n

konsistent?

Aufgabe 3 (Beste Sch¨ atzer bei Normalverteilung). (a) Sch¨ atzung des Erwartungswer- tes. Sei σ > 0 und {N

ϑ,σ

: ϑ ∈ R } eine Familie von Normalverteilungen (mit fester Varianz). Bildet diese Familie eine exponentielle Familie? Geben Sie einen besten Sch¨ atzer f¨ ur ϑ an! Geben Sie die quadratische Abweichung vom Mittelwert dieses Sch¨ atzers an!

(b) Sei nun der Mittelwert m ∈ R fixiert. Wir betrachten die Familie {N

m,ϑ

, ϑ : ϑ >

0}} von Normalverteilung. Bildet diese Familie eine exponentielle Familie? Geben Sie einen besten Sch¨ atzer f¨ ur ϑ an! Geben Sie die quadratische Abweichung vom Mittelwert dieses Sch¨ atzers an!

Aufgabe 4 (G¨ utekriterien sind nicht immer gut). Ein Zufallsexperiment wird so oft unabh¨ angig voneinander durchgef¨ uhrt, bis zum erstenmal ein bestimmtes Ereignis A eintritt; die Wahrscheinlichkeit P (A) = p ∈ (0, 1) ist unbekannt. Die Zufallsvariable Z =“Anzahl der erforderliche Versuche” (mit Werten 1, 2, 3, . . .) enth¨ alt alle Information

¨ uber p.

(2)

(a) Bestimmen Sie einen erwartungstreuen Sch¨ atzer f¨ ur p.

(b) Ist der unter (a) gefundene Sch¨ atzer der einzige erwartungstreue Sch¨ atzer f¨ ur p?

Oder gibt es weitere erwartungstreue Sch¨ atzer?

(c) Bestimmen Sie den Maximum-Likelihood-Sch¨ atzer f¨ ur p. Ist dieser erwartungstreu?

Zusatzaufgabe (Sch¨ atzung der Zusammensetzung einer Urne). Eine Urne enthalte eine gewisse Anzahl gleichartiger Kugeln in verschiedenen Farben, und zwar sei E die endliche Menge der verschiedenen Farben. Es werde n mal mit zur¨ ucklegen gezogen. Es soll (simultan f¨ ur alle Farben a ∈ E) der Anteil der Kugeln der Farbe a gesch¨ atzt werden.

Geben Sie einen Maximum-Likelihood-Sch¨ atzer an! Ist dieser eindeutig?

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