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Technische Universit¨ at Chemnitz 24. Februar 2004 Fakult¨at f¨ur Mathematik

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Technische Universit¨ at Chemnitz 24. Februar 2004 Fakult¨at f¨ur Mathematik

Mathematik II f¨ ur Wirtschaftsingenieure

Pr¨ ufungsklausur

Allgemeine Hinweise: Jede Aufgabe ist auf einem gesonderten Blatt zu bearbeiten!

Schreiben Sie alle wesentlichen Schritte auf dem Weg zum Ergebnis nachvollziehbar auf!

Zugelassene Hilfsmittel: beliebige schriftliche Unterlagen, einfache Taschenrechner (nicht programmierbar und ohne Grafikdisplay)

1. (11 Punkte)

F¨uhren Sie f¨ur die Kurve 13 x

2

− 18xy + 37y

2

− 2 √

10 x + 6 √

10 y = 75

2 die Haupt- achsentransformation aus! Um welche Art von Kurve handelt es sich? Skizzieren Sie die Kurve grob im transformierten Koordinatensystem!

2. (13 Punkte)

Sei f (x, y) = (x

3

− 12x + y) e

y

. Bestimmen Sie a) Gradient und Hessematrix von f (x, y),

b) die Taylorentwicklung von f (x, y) am Koordinatenursprung bis zu den quadratischen Gliedern,

c) die Gleichung der in (x

0

, y

0

) = (0, 0) an z = f(x, y) gelegten Tangentialebene, d) die lokalen Extrema und Sattelpunkte von f (x, y) !

3. (5 Punkte)

Durch ein Gel¨ande mit der H¨ohe h(x, y) = 1000 + x + y + √

xy + 76

10 werde l¨angs der Gerade x

y

!

= 1

2

!

+ t 3 4

!

eine Straße gebaut. Bestimmen Sie den Anstieg der Straße im Gel¨andepunkt ( x, y) = (4, 6) !

4. (11 Punkte)

Bestimmen Sie mit der Simplexmethode die optimale L¨osung und den optimalen Ziel- funktionswert der Optimierungsaufgabe

3 x

1

+ 2 x

2

+ 4 x

3

−→ min 3x

1

+ 2x

2

+ 3x

3

≤ 30 2x

1

+ 3x

2

+ 2x

3

≥ 40

x

1

, x

2

, x

3

≥ 0 !

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