Technische Universit¨ at Chemnitz Statistik Fakult¨ at f¨ ur Mathematik

Technische Universit¨ at Chemnitz Statistik Fakult¨ at f¨ ur Mathematik

Prof. Dr. I. Veseli´ c, M. Tautenhahn

Hausaufgabe 6

Abgabe bis 19. Januar 07:30

Aufgabe 1 (Der Gl¨ ucksspieler I). Bei einer Razzia findet die Polizei bei dem Gl¨ ucksspieler Fabian eine M¨ unze, von der ein anderer Spieler behauptet, daß “Zahl” mit einer Wahr- scheinlichkeit von p = 0.75 statt mit p = 0.5 erscheint. Aus Zeitgr¨ unden kann die M¨ unze nur n = 10 Mal ¨ uberpr¨ uft werden. W¨ ahlen Sie ein statistisches Modell, Nullhypothese und Alternative gem¨ aß dem Rechtsgrundsatz “In dubio pro reo” und bestimmen Sie c ∈ R derart, dass φ : {0, 1}

→ [0, 1],

φ(X) =

( 1 falls P

i=1

X

≥ c, 0 falls P

i=1

X

< c.

ein Test zum Irrtumsniveau α = 0.01 ist. Hier ist X

∈ {0, 1} und X

= 1 (X

= 0) bedeutet, dass die M¨ unze im i-ten Wurf “Zahl” (“Kopf”) gezeigt hat. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit f¨ ur einen Fehler zweiter Art.

Aufgabe 2 (Der Gl¨ ucksspieler II). Wir betrachten die Situation von Aufgabe 1. Geben Sie einen zugeh¨ origen besten Test zum Irrtumsniveau α = 0.01 an.

Zusatz: Geben sie die Wahrscheinlichkeit f¨ ur einen Fehler zweiter Art an.

Aufgabe 3 (Test im Gleichverteilungsmodell). Bestimmen Sie im statistischen Produkt- modell ( R

, B

, U

: ϑ > 0) die G¨ utefunktion des (nichtrandomisierten) Tests mit Annahmebereich {1/2 < max{X

, . . . , X

} ≤ 1} f¨ ur das Testproblem H

: ϑ = 1 gegen H

: ϑ 6= 1.

Hinweis: Das Komplement vom Ablehnungsbereich nennt man Annahmebereich.

Aufgabe 4 (Zusammenhang von Konfidenzbereichen und Tests). Sei (X , F , P

: ϑ ∈ Θ) ein statistisches Modell. Zeigen Sie:

(a) Ist C : X → P(Θ) ein Konfidenzbereich zum Irrtumsniveau α und ϑ

∈ Θ beliebig gew¨ ahlt, so ist {ϑ

6∈ C(·)} der Ablehnungsbereich eines (nichtrandomisierten) Tests von H

: ϑ = ϑ

gegen H

: ϑ 6= ϑ

zum Niveau α.

(b) Ist umgekehrt f¨ ur jedes ϑ

∈ Θ ein nichtrandomisierter Test f¨ ur H

: ϑ = ϑ

gegen

H

: ϑ 6= ϑ

zum Niveau α gegeben, so l¨ aßt sich daraus ein Konfidenzbereich zum

Irrtumsniveau α gewinnen.