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Technische Universit¨ at Chemnitz 10. Februar 2005 Fakult¨at f¨ ur Mathematik

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Technische Universit¨ at Chemnitz 10. Februar 2005 Fakult¨at f¨ ur Mathematik

Mathematik III f¨ ur Wirtschaftsingenieure

Pr¨ ufungsklausur

Allgemeine Hinweise: Jede Aufgabe ist auf einem gesonderten Blatt zu bearbeiten!

Schreiben Sie alle wesentlichen Schritte auf dem Weg zum Ergebnis nachvollziehbar auf!

Zugelassene Hilfsmittel: gedruckte Formelsammlung, Skript ohne Anhang, Taschenrechner 1. (6 Punkte)

Ermitteln Sie die allgemeine L¨osung des Differenzialgleichungssystems x ˙ = 8x − 6y

˙

y = − 6x +17y ! 2. (8 Punkte)

Sei f(x, y) = 8x

2

− 12xy + 17y

2

− 36x + 2y.

a) Ermitteln Sie die Extremstellen!

b) Durch f(x, y) = 0 sei in der Umgebung des Punktes (x, y) = (0, 0) eine Funktion y = ϕ(x) definiert. Bestimmen Sie durch implizite Differenziation ϕ

0

(0) und mit Hilfe dieser Ableitung einen N¨aherungswert f¨ ur ϕ(0.0001) !

3. (3 Punkte)

Sei f(x, y, z) = 1 − 2x

2

− 3y

2

. Berechnen Sie grad f, div grad f und rot grad f ! 4. (11 Punkte)

Die Funktion f (x) =

 

 

 

− 3, − 2 < x ≤ − 1

− 1, − 1 < x ≤ 0 1, 0 < x ≤ 1 3, 1 < x ≤ 2

werde 4–periodisch fortgesetzt.

a) Skizzieren Sie die Funktion!

b) Entwickeln Sie die Funktion in eine Fourierreihe!

c) Gegen welche Funktion konvergiert die Fourierreihe?

5. (12 Punkte)

Betrachtet wird der von den Fl¨achen z = 0, z = 18 − 2x

2

− 2y

2

und x

2

+y

2

= 4 begrenzte K¨orper.

a) Skizzieren Sie den K¨orper!

b) Der K¨orper bestehe aus Material der Dichte %(x, y, z) = 1 2

1 3+ p

x

2

+ y

2

. Berechnen Sie seine Masse!

c) Berechnen Sie die Oberfl¨ache des K¨orpers!

Zusatz (+5 Punkte)

L¨osen Sie die Anfangswertaufgabe y

00

(x)+36y(x) = 6, y(0) = y

0

(0) = 0 mit Hilfe der

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