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Technische Universit¨ at Chemnitz 20. Februar 2006 Fakult¨at f¨ ur Mathematik

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Academic year: 2021

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Technische Universit¨ at Chemnitz 20. Februar 2006 Fakult¨at f¨ ur Mathematik

Mathematik II f¨ ur Wirtschaftsingenieure

Pr¨ ufungsklausur

Allgemeine Hinweise: Jede Aufgabe ist auf einem gesonderten Blatt zu bearbeiten!

Schreiben Sie alle wesentlichen Schritte auf dem Weg zum Ergebnis nachvollziehbar auf!

Zugelassene Hilfsmittel: gedruckte Formelsammlung, Skript ohne Anhang, Taschenrechner 1. (8 Punkte)

Von dem Gleichungssystem

x + 2y +5z = 7 3x + 3y + z = 7 8x +10y +az = b

sei bekannt, dass es mehrere L¨osungen hat. Bestimmen Sie die Parameter a und b und geben Sie die allgemeine L¨osung des Gleichungssystems an!

2. (13 Punkte)

In einer Mensa werden die Essen 1 bis 4 (damit in der Klausur mit einfachen Zahlen gerechnet werden kann) auch zu Preisen von 1 bis 4 e verkauft. F¨ ur die einzelnen Es- sen entstehen Personalkosten, Wareneinsatz und sonstige Sachkosten in der in folgender Tabelle angegebenen H¨ohe, wobei diese Kosten insgesamt jeweils die angegebenen Fonds nicht ¨uberschreiten d¨ urfen:

Verkaufte Portionen Essen 1 Essen 2 Essen 3 Essen 4 Fonds

Personalkosten pro Portion 1 2 2 2 3400

Wareneinsatz pro Portion 1 1 2 2 3000

Sonstige Sachkosten pro Portion 2 2 2 3 3900

Verkaufspreis je Portion 1 2 3 4

Unter den vorgegebenen Bedingungen soll der Umsatz (Erl¨os) maximiert werden.

a) Stellen Sie das mathematische Modell der Optimierungsaufgabe auf!

b) L¨osen Sie die Optimierungsaufgabe mit dem Simplexalgorithmus! Wie viele Portionen der einzelnen Essen sind f¨ ur maximalen Umsatz zu verkaufen, welcher Umsatz ist erzielbar?

c) Welche Bedeutung haben die mit dem Simplexalgorithmus ermittelten Werte der Schlupfvariablen in der optimalen L¨osung?

3. (10 Punkte)

F¨ uhren Sie f¨ ur die Kurve 4xy + 3y

2

+ 4x − 2y − 5 = 0 die Hauptachsentransformation aus, klassifizieren Sie sie und zeichnen Sie sie im transformierten Koordinatensystem!

4. (9 Punkte)

Laut Wikipedia ist ein Prisma

” ein geometrischer K¨orper, der durch Parallelverschiebung einer ebenen Fl¨ache (der Grundfl¨ache) entlang einer nicht in dieser Ebene liegenden Geraden im Raum entsteht.“ Die Grundfl¨ache sei das Dreieck ABC, die dazu parallele Deckfl¨ache DEF . Gegeben seien die Punkte A = (1, 0, 1), B = (2, 1, 3), C = (3, 2, 1) und D = (5, 6, 6).

a) Bestimmen Sie die Punkte E und F !

b) Berechnen Sie den Inhalt der Grundfl¨ache, die H¨ohe und das Volumen des Prismas!

Zusatz (+4 Punkte)

Seien A , B , C und D quadratische Matrizen gleicher Ordnung. L¨osen Sie die Gleichung

4 B + 3 A + 2 AB = C nach A auf, wobei die dabei erforderliche Invertierung m¨oglich

sein soll!

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