Technische Universit¨ at Chemnitz Stochastik Fakult¨ at f¨ ur Mathematik

Technische Universit¨ at Chemnitz Stochastik Fakult¨ at f¨ ur Mathematik

Prof. Dr. I. Veseli´ c, F. Schwarzenberger, M. Tautenhahn

Hausaufgabe 5

Abgabe bis 19./20. Mai 07:30

Aufgabe 1. Tom Bayes hat sich auf seiner Reise durch den Oberrabensteiner Natio- nalpark verirrt. Seiner Erinnerung nach sch¨ atzt er, dass mit Wahrscheinlichkeit p der Ausgang aus dem Nationalpark im Osten liegt und mit Wahrscheinlichkeit 1 − p im Westen. Bevor er sich auf den Weg macht, fragt er jedoch einen Passanten mehrmals nach der Richtung zum Ausgang, um seinen Kenntnisstand zu verbessern. Die Personen in Nationalpark reagieren auf die Frage nach dem Ausgang genauso, wie in Aufgabe 2 auf Hausaufgabenblatt 3 beschrieben. Zeigen Sie:

(a) Egal welche Antwort Tom auf seine erste Frage bekommt, er glaubt weiterhin, dass die Antwort Osten mit Wahrscheinlichkeit p korrekt ist.

(b) Sind die ersten beiden Antworten identisch (OO oder WW), so glaubt Tom weiterhin, dass die Antwort Osten mit Wahrscheinlichkeit p korrekt ist.

(c) Nach drei gleichen Antworten beurteilt Tom die Situation folgendermaßen:

P [Osten korrekt|OOO] = 9p

11 − 2p und P [Osten korrekt|WWW] = 11p 9 + 2p . Welche Werte ergeben sich f¨ ur p =

?

Satz 1 (Borel-Cantelli). Sei (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum und A

, A

, · · · ∈ A Ereignisse. Sei weiterhin A

= lim sup

A

.

(i) Ist P

n=1

P [A

] < ∞, so ist P [A

] = 0.

(ii) Sind A

, A

, . . . unabh¨ angig und P

n=1

P [A

] = ∞, so ist P [A

] = 1.

Beachte, A

= lim sup A

= T

S

i=n

A

= {A

tritt f¨ ur unendlich viele n ein}.

Aufgabe 2. Eine M¨ unze mit Wahrscheinlichkeit p ≥ 1/2 f¨ ur “Zahl” wird wiederholt geworfen. Sei A

, k ∈ N , das Ereignis, dass bei den W¨ urfen 2

, 2

+ 1, . . . , 2

− 1 mindestens k mal in Folge “Zahl” f¨ allt. Zeigen Sie, dass

P [A

tritt f¨ ur unendlich viele k ein] = 1.

Hinweis: Definieren Sie das Ereignis E

= {X

= 1 f¨ ur alle j = 2

+ ik, 2

+ ik +

1, . . . , 2

+ ik + k − 1}, k ∈ N und i = 0, . . . b2

/k − 1c. Benutzen Sie Teil (ii) des obigen

Satzes.

Aufgabe 3. Eine Krankenversicherung ermittelte, dass bei Verkehrsunf¨ allen von PKW- Fahrern, die angegurtet waren, nur 8% schwere Kopfverletzungen aufwiesen. Bei nicht angeschnallten Fahrern trugen 62% keine schwere Kopfverletzung davon. Trotz An- schnallpflicht legen immer noch 15% aller Autofahrer keinen Gurt an. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein nach einem Unfall ins Krankenhaus eingelieferter Autofahrer mit schwerer Kopfverletzung keinen Gurt angelegt hatte?

Aufgabe 4. Es sei (Ω, P (Ω), P ) ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum. Zeigen Sie, dass es keine Folge (A

)

⊂ P (Ω) von unabh¨ angigen Ereignissen gibt mit

0 < P (A

) = P (A

) < 1 f¨ ur alle n ∈ N .