(b) Sind die ersten beiden Antworten identisch (OO oder WW), so glaubt Tom weiterhin, dass die Antwort Osten mit Wahrscheinlichkeit pkorrekt ist

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Stochastik Prof. Dr. I. Veseli´c

Hausaufgabe 5

Abgabe bis 17. Mai 13:00 Uhr

Aufgabe 1. Tom Bayes hat sich auf seiner Reise durch den Oberrabensteiner Nationalpark verirrt. Seiner Erinnerung nach sch¨atzt er, dass mit Wahrscheinlichkeit p der Ausgang aus dem Nationalpark im Osten liegt und mit Wahrscheinlichkeit 1−p im Westen. Bevor er sich auf den Weg macht, fragt er jedoch einen Passanten mehrmals nach der Richtung zum Ausgang, um seinen Kenntnisstand zu verbessern. Die Personen in Nationalpark reagieren auf die Frage nach dem Ausgang genauso, wie in Aufgabe 2 auf Hausaufgabenblatt 3 beschrieben. Zeigen Sie:

(a) Egal welche Antwort Tom auf seine erste Frage bekommt, er glaubt weiterhin, dass die Antwort Osten mit Wahrscheinlichkeitp korrekt ist.

(b) Sind die ersten beiden Antworten identisch (OO oder WW), so glaubt Tom weiterhin, dass die Antwort Osten mit Wahrscheinlichkeit pkorrekt ist.

(c) Nach drei gleichen Antworten beurteilt Tom die Situation folgendermaßen:

P[Osten korrekt|OOO] = 9p

11−2p und P[Osten korrekt|WWW] = 11p 9 + 2p. Welche Werte ergeben sich f¨urp= ₂₀⁹?

Satz(Borel-Cantelli). Sei(Ω,A, P)ein Wahrscheinlichkeitsraum undA₁, A₂,· · · ∈ AEreignisse.

Sei weiterhin A^∗= lim sup_n→∞An. (i) IstP∞

n=1P[A_n]<∞, so ist P[A^∗] = 0.

(ii) Sind A₁, A₂, . . . unabh¨angig und P∞

n=1P[A_n] =∞, so ist P[A^∗] = 1.

Beachte, A^∗= lim supAn=T∞ n=1

S∞

i=nAi ={A_n tritt f¨ur unendlich viele n ein}.

Aufgabe 2. Eine M¨unze mit Wahrscheinlichkeitp < 1/2 f¨ur “Zahl” wird wiederholt geworfen.

Sei Ak, k ∈ N das Ereignis, dass bei den W¨urfen 2^k,2^k+ 1, . . . ,2^k+1−1 mindestens k mal in Folge “Zahl” f¨allt. Zeigen Sie, dass

P[A_k tritt f¨ur unendlich viele k ein] = 0.

Hinweis: Definieren Sie das EreignisB_k^(j) ={X_j = 1, X_j+1= 1, . . . , Xj+k−1 = 1},j, k∈N, wobei X_j = 1 bedeutet, dass derj-te Wurf “Zahl” ist. Benutzen Sie Teil (i) des obigen Satzes.

Aufgabe 3. Eine M¨unze mit Wahrscheinlichkeitp ≥1/2 f¨ur “Zahl” wird wiederholt geworfen.

Sei A_k, k ∈ N, das Ereignis, dass bei den W¨urfen 2^k,2^k+ 1, . . . ,2^k+1−1 mindestens k mal in Folge “Zahl” f¨allt. Zeigen Sie, dass

P[A_k tritt f¨ur unendlich viele k ein] = 1.

Hinweis: Definieren Sie das EreignisE_i,k ={X_j = 1 f¨ur alle j= 2^k+ik,2^k+ik+ 1, . . . ,2^k+ik+ k−1},k∈N undi= 0, . . .b2^k/k−1c. Benutzen Sie Teil (ii) des obigen Satzes.

(2)

Aufgabe 4. Eine Krankenversicherung ermittelte, dass bei Verkehrsunf¨allen von PKW-Fahrern, die angegurtet waren, nur 8% schwere Kopfverletzungen aufwiesen. Bei nicht angeschnallten Fahrern trugen 62% keine schwere Kopfverletzung davon. Trotz Anschnallpflicht legen immer noch 15% aller Autofahrer keinen Gurt an. Wie groß ist dieWahrscheinlichkeit, dass ein nach einem Unfall ins Krankenhaus eingelieferter Autofahrer mit schwerer Kopfverletzung keinen Gurt angelegt hatte?