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Technische Universit¨ at Chemnitz 27. Juli 2000 Fakult¨ at f¨ ur Mathematik

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Academic year: 2021

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Technische Universit¨ at Chemnitz 27. Juli 2000 Fakult¨ at f¨ ur Mathematik

Mathematik II f¨ ur Wirtschaftsinformatiker und –ingenieure

Pr¨ ufungsklausur

1. (10 Punkte) Die Anzahl z der Fahrzeuge, die eine bestimmte Straße st¨ undlich passieren k¨ onnen, lasse sich aus der mittleren Geschwindigkeit v in m/s bei einer mittleren Fahr- zeugl¨ ange von 4 m nach folgender Formel berechnen:

z(v) = 1000 v 4 + v

4 + v

2

12 .

a) Bei welcher Durchschnittsgeschwindigkeit in km/h ist die Durchlassf¨ ahigkeit der Straße am gr¨ oßten?

b) Die Straße werde durchschnittlich mit v

0

= 12 m/s passiert. Approximieren Sie z um v

0

durch ein Taylorpolynom 2. Grades!

2. (10 Punkte) Berechnen Sie folgende Integrale:

a) R

(2 + 3x)

2

dx, b) R

x cos 5x dx, c) R 5x − 1

x

2

+ x − 12 dx !

3. (8 Punkte) Gegeben sei die Kurve ~ x(t) =

t sin t 2 3

√ 2t

3

2 − t cos t

 , 1 ≤ t ≤ 5.

a) Berechnen Sie die L¨ ange der Kurve!

b) Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente an die Kurve im Punkt ~ x(π) !

4. (12 Punkte) F¨ ur x > 0, y > 0 sei die Funktion f (x, y) = x − y + ln y

x definiert.

a) Berechnen Sie Gradient und Hessematrix dieser Funktion!

b) Hat die Funktion globale oder lokale Extrema bzw. Sattelpunkte?

c) Ermitteln Sie die Gleichung der Tangentialebene im Punkt (e, 1) an z = f (x, y) !

d) Sei ~a ein Vektor in gegen¨ uber der positiven x–Achse im positiven Sinne um 60

o

gedrehter Richtung. Berechnen Sie die Richtungsableitung ∂f

∂~a (e, 1) !

e) In welche Richtung w¨ achst f (x, y) ausgehend von (x, y) = (e, 1) am st¨ arksten?

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