Aufgabe 1. Sei G = hgi zyklische Gruppe der Ordnung 2 e . Zeige, dass man h 7→ log g (h) mit e+1 2

(1)

Prof. C. P. Schnorr Wintersemester 2013/14

Kryptographie

Blatt 2, 22.11.2013, Abgabe 29.11.2013

Aufgabe 1. Sei G = hgi zyklische Gruppe der Ordnung 2 ^e . Zeige, dass man h 7→ log _g (h) mit ^e+1 ₂

Multiplikationen in G berechnen kann.

Hinweis: Für a := log _g h(mod2) gilt hg ^a ∈ G ² und log _g (hg ^a ) = 2 log _g

2

(hg ^a ) = a + log _g h.

log _g h(mod2) =







0 falls h ²

^e−1

= 1 _G 1 falls h ²

^e−1

6= 1 _G

.

Aufgabe 2. Sei G = hgi, |G| = q = p ₁ · · · p _t . Es bezeichne M (p ₁ , . . . , p _t ) die Anzahl der Multiplikationen in G zur Berechnung g 7→ g ^q/p

¹

, . . . , g ^q/p

^t

. Zeige: M (p 1 , . . . , p t ) ≤ blg qc(1 + dlg te).

Hinweis: M (p ₁ , . . . , p _t ) ≤ lg q + M(p ₁ , . . . , p _t/2 ) + M (p _t/2+1 , . . . , p _t ), sofern die g ²

ⁱ

für i = 0, . . . , blg qc − 1 gegeben sind.

Aufgabe 3. Zeige, dass für die generische ElGamal-Verschl. die Aufgabe zu gegebenem m gültige von ungültigen Ziffertexten von m zu unterscheiden, so schwierig ist wie DDH: DDH ≤ _pol IND.

Aufgabe 1. Sei G = hgi zyklische Gruppe der Ordnung 2 e . Zeige, dass man h 7→ log g (h) mit e+1 2

Prof. C. P. Schnorr Wintersemester 2013/14

Kryptographie

Blatt 2, 22.11.2013, Abgabe 29.11.2013

Aufgabe 1. Sei G = hgi zyklische Gruppe der Ordnung 2 e . Zeige, dass man h 7→ log g (h) mit e+1 2

Multiplikationen in G berechnen kann.

Hinweis: Für a := log g h(mod2) gilt hg a ∈ G 2 und log g (hg a ) = 2 log g

(hg a ) = a + log g h.

log g h(mod2) =







0 falls h 2

= 1 G 1 falls h 2

6= 1 G

.

Aufgabe 2. Sei G = hgi, |G| = q = p 1 · · · p t . Es bezeichne M (p 1 , . . . , p t ) die Anzahl der Multiplikationen in G zur Berechnung g 7→ g q/p

, . . . , g q/p

. Zeige: M (p 1 , . . . , p t ) ≤ blg qc(1 + dlg te).

Hinweis: M (p 1 , . . . , p t ) ≤ lg q + M(p 1 , . . . , p t/2 ) + M (p t/2+1 , . . . , p t ), sofern die g 2

für i = 0, . . . , blg qc − 1 gegeben sind.

Aufgabe 3. Zeige, dass für die generische ElGamal-Verschl. die Aufgabe zu gegebenem m gültige von ungültigen Ziffertexten von m zu unterscheiden, so schwierig ist wie DDH: DDH ≤ pol IND.

Punktzahl pro Aufgabe 5

Aufgabe 1. Sei G = hgi zyklische Gruppe der Ordnung 2 ^e . Zeige, dass man h 7→ log _g (h) mit ^e+1 ₂

Hinweis: Für a := log _g h(mod2) gilt hg ^a ∈ G ² und log _g (hg ^a ) = 2 log _g

(hg ^a ) = a + log _g h.

log _g h(mod2) =

0 falls h ²

= 1 _G 1 falls h ²

6= 1 _G

Aufgabe 2. Sei G = hgi, |G| = q = p ₁ · · · p _t . Es bezeichne M (p ₁ , . . . , p _t ) die Anzahl der Multiplikationen in G zur Berechnung g 7→ g ^q/p

, . . . , g ^q/p

Hinweis: M (p ₁ , . . . , p _t ) ≤ lg q + M(p ₁ , . . . , p _t/2 ) + M (p _t/2+1 , . . . , p _t ), sofern die g ²

Aufgabe 3. Zeige, dass für die generische ElGamal-Verschl. die Aufgabe zu gegebenem m gültige von ungültigen Ziffertexten von m zu unterscheiden, so schwierig ist wie DDH: DDH ≤ _pol IND.