Aufgabe 1. Sei G = hgi zyklische Gruppe der Ordnung 2

(1)

Prof. C. P. Schnorr Sommersemester 2012

Kryptographie

Blatt 2, 20.04.2012, Abgabe 27.04.2012

Aufgabe 1. Sei G = hgi zyklische Gruppe der Ordnung 2

^e

. Zeige, dass man h 7→ log

_g

(h) mit

^e+2₂

Multiplikationen in G berechnen kann.

Hinweis: Für a := log

_g

h(mod2) gilt

log

_g

(hg

^a

) = 2 log

_g2

(hg

^a

) = a + log

_g

h.

log

_g

h(mod2) =







0 falls h

²^e−1

= 1

_G

1 falls h

²^e−1

6= 1

_G

.

Aufgabe 2. Es bezeichne E

_h,k

:= n P

h−1

i=0

c

_i

2

^ik

| c

_i

∈ {0, 1} o . Zeige: Die Zerlegung a = P

k−1

j=0

s

_j

2

^j

∈ [0, 2

^hk

[ mit s

_j

∈ E

_h,k

ist eindeutig.

Berechne g

¹⁷

, g

¹⁹

, g

²⁷

, g

²⁹

jeweils mit höchstens einer Quadrierung und einer Multiplikation zu gegebenem g

^E^3,2

.

Aufgabe 3. Sei G = hgi , q = p

1

· · · p

t

. Es bezeichne M (p

1

, . . . , p

t

) die Anzahl der Multiplikationen in G zur Berechnung g 7→ g

^q/p¹

, . . . , g

^q/p^t

. Zeige:

M (p

1

, . . . , p

t

) = O(blg qc(1 + dlg te)) .

Hinweis: M (p

₁

, . . . , p

_t

) ≤ 2 lg q + M(p

₁

, . . . , p

_t/2

) + M (p

_t/2+1

, . . . , p

_t

) .

Punktzahl pro Aufgabe 5