Stochastik, Sommersemester 2014 Prof. Dr. I. Veselić Dr. M. Tautenhahn, Dr. C. Schumacher Hausaufgabe 5
Abgabe am 12.5. oder am 14.5. in der Übung
Aufgabe 1. Sie haben sich im Nationalpark von Oberrabenstein verlaufen. Von den Besuchern im Park sind zwei Drittel Touristen. Fragen nach der Richtung zum Ausgang werden von diesen mit Wahr- scheinlichkeit 3/4 richtig beantwortet. Die Touristen sind sich jedoch unsicher und ändern manchmal ihre Meinung. Daher kommt es, dass die Antworten ein und desselben Touristen bei mehrmaligem Nach- fragen unabhängig voneinaner sind. Wenn man hingegen einen Oberrabensteiner fragt, ist die Antwort immer falsch.
(a) Sie fragen eine Person, ob der Ausgang sich in Richtung Osten oder Westen befindet. Als Antwort erhalten Sie Osten. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das richtig ist?
(b) Sie fragen dieselbe Person nochmals und bekommen dieselbe Antwort. Zeigen Sie, dass die Wahr- scheinlichkeit, nun die richtige Antwort erhalten zu haben, 1/2 beträgt.
(c) Sie richten dieselbe Frage ein drittes Mal an dieselbe Person. Wieder mit der Antwort Osten. Wie hoch ist jetzt die Wahrscheinlichkeit, dass die Antwort stimmt?
(d) Ein viertes Mal wird der geduldige Passant von Ihnen gefragt, doch die Antwort ist wieder Osten.
Zeigen Sie, dass die Antwort mit Wahrscheinlichkeit 27/70 richtig ist.
(e) Zeigen Sie für den Fall, dass die vierte Antwort Westen wäre, dass die Richtung Osten mit Wahr- scheinlichkeit 9/10 zutrifft.
Aufgabe 2.Eine Urne enthält zur Zeitn= 0 je eine rote und eine schwarze Kugel. Vor jedem Zeitpunkt n= 1,2,3, . . . wird eine zufällig ausgewählte Kugel entnommen, und zusammen mit einer neuen Kugel derselben Farbe in die Urne zurückgelegt. Sei Rn die Anzahl der roten Kugeln zur Zeit n. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten
pn,r := P(Rn=r) (n≥0, 1≤r≤n+ 1 ) a) für n= 1,2 und 3, b) allgemein.
Aufgabe 3. Fabian und Martin spielen Bürostuhlrennen. Sie liefern sich jeden Tag ein Rennen. Der Sieger eines Rennens bekommt einen Punkt. Die Wahrscheinlichkeit, dass Fabian gewinnt sei 1> α >
1/2. Die Wahrscheinlichkeit, dass Martin gewinnt sei entsprechendβ = 1−α. Der Spieler, der mit zwei Punkten führt gewinnt das Duell.
(a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt Fabian das Duell?
(b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt Martin das Duell?
(c) Wäre es für Fabian besser, wenn derjenige das Duell gewinnt, der das erste Spiel gewinnt?
(d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Duell nie endet?
Aufgabe 4.Es seienXundY reellwertige Zufallsgrößen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,A,P).
Zeigen Sie:
(a) Falls Y mit Wahrscheinlichkeit Eins konstant ist, so sindX undY unabhängig.
(b) Sind X und Y unabhängig, so gilt für jedes A∈σ(X)∩σ(Y) P(A) = 0 oder P(A) = 1.
(c) Zeigen oder widerlegen Sie folgende Behauptung. Zwei unkorrelierte Bernoulli-verteilte Zufallsva- riablen sind unabhängig.
