Stochastik für das Lehramt, Sommersemester 2017 Dr. A. Szkoła Dr. M. Tautenhahn Hausaufgabe 1
Abgabe am 15. Mai 2017
Aufgabe 1.Bei einem Elternabend sind nPaare unds einzelne Elternteile angemeldet. Die Lehrerin hat einen Stuhlkreis mit 2n+s+1 Stühlen aufgebaut und ihren Platz schon gewählt.
Um bei den Eltern ein Gruppengefühl zu schaffen, hat die Pädagogin 2n+sKarten aus einem Kartenspiel genommen, halbiert und auf jedem Stuhl eine halbe Karte deponiert. Der Stapel der verbleibenden Kartenhälften wird gut gemischt. Wer den Raum betritt, zieht eine Karte vom Stapel der halben Karten und muss sich auf den Platz mit der dazu passenden anderen Kartenhälfte setzen.
(a) Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Eltern im Stuhlkreis zu verteilen?
(b) Bei wie vielen dieser Möglichkeiten sitzen zufälligerweise alle Paare nebeneinander?
(c) Angenommen, es kommen 5 Paare und 20 Einzelne, wie wahrscheinlich ist es, dass alle Paare nebeneinander sitzen?
(d) Frau und Herr Müller saßen nebeneinander. Auf dem Heimweg nach der Sitzung über- legen sie, wie groß die Chancen dafür waren. Helfen Sie!
Hinweise:
(a) Einfach, Urnenmodell!
(b) Fasses sie alle Paare zu “Einheiten” zusammen. Die Einzelpersonen bilden auch jeweils eine “Einheit”. Wie viele Möglichkeiten gibt es nun alle “Einheiten” zu platzieren? Jedes Paar hat zudem die Wahl wer links und wer rechts sitzt. Dadurch erhält man einen zusätzlichen Faktor 2 für jedes Paar. Beweisen Sie ihre Vermutung für die Anzahl, (n+ s)!2n, mittels Induktion über n.
(c) Günstige (siehe (b)) durch Mögliche.
(d) Günstige durch Mögliche.
Aufgabe 2. Das pascalsche Dreieck ist eine Form der grafischen Darstellung der Binomial- koeffizienten, die auch eine einfache Berechnung dieser erlaubt. Sie sind im Dreieck derart angeordnet, dass jeder Eintrag die Summe der zwei darüberstehenden Einträge ist. Dieser Sachverhalt wird durch die Gleichung
n k
!
= n−1 k−1
!
+ n−1 k
!
(1) beschrieben, siehe Abbildung.
0
0
= 1
1
0
= 1 11= 1
2
0
= 1 21= 2 22= 1
3
0
= 1 31= 3 32= 3 33= 1
4
0
= 1 41= 4 42= 6 43= 4 44= 1
Beweisen Sie Gleichung (1). Betrachten Sie dazu die MengeA={1,2, . . . , n}und überlegen Sie sich:
• Wie viele k-elementige Teilmengen von A gibt es?
• Wie viele k-elementige Teilmengen ohne n von A gibt es?
• Wie viele k-elementige Teilmengen, die n enthalten von A gibt es?
2
