Stochastik für das Lehramt, Sommersemester 2017 Dr. A. Szkoła Dr. M. Tautenhahn Hausaufgabe 3

Stochastik für das Lehramt, Sommersemester 2017 Dr. A. Szkoła Dr. M. Tautenhahn Hausaufgabe 3

Abgabe am 29. Mai 2017

Aufgabe 1. Fluggesellschaften haben festgestellt, dass Passagiere, die einen Flug gebucht haben, unabhängig voneinander mit einer Wahrscheinlichkeit von 10% nicht einchecken.

Deshalb werden normalerweise mehr Tickets verkauft als es Sitzplätze im Flugzeug gibt.

Eine Fluggesellschaft hat für ein Flugzeug mit 18 Sitzen 20 Flugtickets verkauft. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Sitzplätze nicht ausreichen?

Hinweis: Stellen Sie ein Binomialverteilungsmodell auf.

Aufgabe 2. Sei (Ω, P (Ω), P ) ein diskreter Wahrscheinlichkteitsraum. Beweisen Sie für alle A, B, C ∈ Ω die Gleichungen

P (A ∩ B) + 1 = P (A

∩ B

) + P (A) + P (B) und

P (A ∪ B ∪ C) = P (A) + P (B) + P (C) − P (A ∩ B) − P (A ∩ C) − P (B ∩ C) + P (A ∩ B ∩ C).

Aufgabe 3. Bei einem Glücksspiel werden drei faire Tetraeder geworfen. Der Spieler gewinnt, wenn das Ereignis A = {drei gleiche Augenzahlen} oder B = {mindestens eine Vier} oder C = {mindestens 11 als Augensumme} eintritt.

Aufgabe 4. Ein fairer Tetraederwürfel hat vier Seiten, auf denen er mit gleicher Wahr- scheinlichkeit zu liegen kommt. Die vier Seiten unseres Exemplars seien mit 1, 2, 3 bzw. 4 Augen beschriftet.

Wir werfen einen fairen Tetraederwürfel drei Mal und notieren die Augenzahlen. Der Wahr- scheinlichkeitsraum, in dem Ergebnis liegt, ist (Ω

, P (Ω

), P

) mit Ω

:= {1, 2, 3, 4}

und der Gleichverteilung P

. Aus den drei Augenzahlen können wir mit der Funktion

F : Ω

→ Ω, F (x, y, z) := x + y + z

die Augensumme berechnen, wobei Ω := {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} die Menge der möglichen Augensummen ist. Bestimmen Sie für alle Augensummen ω ∈ Ω die Wahrscheinlichkeit und stellen Sie die Zähldichte graphisch dar.

Zusatzaufgabe 5. Ein Schachmeister besucht einen Schachverein und spielt eine Partie Simultanschach gegen die fünf anwesenden Clubmitglieder. Dazu werden fünf Schachbretter in einer Reihe aufgebaut. Auf der einen Seite sitzen vor je einem Brett die Vereinsmitglieder, während auf der anderen Seite der Schachmeister reihum auf jedem Brett zieht. Es sei X die Anzahl der Spiele, die der Schachmeister gewinnt. (Ein Schachspiel kann mit Remis beendet werden, so dass keiner gewinnt.)

(a) Geben Sie einen Grundraum Ω und die Zufallsgröße X samt Zustandsraum Z an.

(b) Bestimmen Sie die Anzahl der Elemente von Ω.

(c) Wie viele Elementarereignisse besitzt das Ereigns {X ≥ 4}?