Sommersemester 2019 Dr. M. Tautenhahn

Stochastik für das Lehramt Prof. Dr. U. Freiberg

Sommersemester 2019 Dr. M. Tautenhahn

Hausaufgabe 5

Abgabe am 27. Mai 2019

Aufgabe 1. In einer Urne seien s schwarze und w weiße Kugeln, wobei s, w ≥ 1. Nun werden zwei Kugeln gezogen und es seien die beiden EreignisseA1 und A2 gegeben durch

A₁ : „Erste Kugel ist weiß“,A₂ :„Zweite Kugel ist weiß“.

Zeigen Sie: Beim ZiehenmitZurücklegen sindA₁undA₂ unabhängig und beim Ziehenohne Zurücklegen sindA₁ und A₂ nicht unabhängig.

Aufgabe 2.

(a) Eine Drei-Personen-Jury besteht aus zwei Juroren, die unabhängig voneinander die rich- tige Entscheidung (unter zwei Möglichkeiten) mit der Wahrscheinlichkeit p fällen, der dritte Juror wirft eine faire Münze. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Jury korrekt entscheidet, falls eine einfache Mehrheit ausreicht?

Interpretieren Sie das Ergebnis.

(b) Auf drei Seiten eines regulären Tetraeders stehe je eine der Zahlen 1, 2 und 3; auf der vierten Seite stehen alle drei Zahlen. Nun wird der Tetraeder geworfen, so dass jede der vier Seiten mit gleicher Wahrscheinlichkeit unten liegt. Bezeichne A_i das Ereignis, dass die Zahl i auf der unten liegenden Seite des Tetraeders steht, i= 1,2,3.

Zeigen Sie: A₁ und A₂ sind unabhängig, aber A₁, A₂ und A₃ sind nicht unabhängig.

Aufgabe 3. Wir betrachten ein wiederholt ausgeführtes Experiment, von denen jedes un- abhängig vom Ausgang aller anderen Experimente die Erfolgswahrscheinlichkeit p ∈ (0,1) besitzt. Es seiT_n die Wartezeit auf denn-ten Erfolg, n∈N. Man zeige, dass für jedesn∈N die Verteilung von T_n−n gegeben ist durch die sogenannte Negative Binomialverteilung

Bin_n,p(k) =

−n

k

pⁿ(p−1)^k, k ∈N0,

wobei der negative Binomialkoeffizient definiert ist durch

−n

k

:= (−n)(−n−1)(−n−2)· · ·(−n−k+ 1) k!

fürk ∈N und ⁻ⁿ₀ := 1.

Aufgabe 4.

(a) Es seien n ≥ 2, Ω = {0,1}ⁿ und P({ω}) = 2⁻ⁿ für alle ω = (ω₁, . . . , ω_n) ∈ Ω. Wir betrachten die Ereignisse

A_i :={ω= (ω₁, . . . , ω_n)∈Ω :ω_i = 1}

sowie das EreignisB :={ω = (ω₁, . . . , ω_n)∈Ω :ω₁+. . .+ω_n≡1 mod 2}. Überprüfen Sie die folgenden Tupel von Ereignissen auf Unabhängigkeit.

(i) (A₁, . . . , A_n, B) (ii) (A₁, . . . , A_n) (iii) (A₂, . . . , A_n, B)

(b) SeienA₁, A₂, . . . , A_n unabhängige Ereignisse mit P(A_i) =p, i = 1, . . . , n.Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass

(i) mindestens eines der Ereignisse eintritt,

(ii) genau m der Ereignisse eintreten (0≤m≤n), (iii) mindestens m der Ereignisse eintreten (0≤m ≤n).

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