Stochastik, Sommersemester 2019 Prof. Dr. U. Freiberg Dr. M. Tautenhahn Übungsblatt 11
zu bearbeiten bis 12.07.2019
Aufgabe 1. Seien (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum, F , G ⊆ A σ-Algebren und X, Y ∈ L
1(Ω, A, P ) integrierbare Zufallsgrößen. Zeigen Sie:
(a) Y ist genau dann eine Version von E (X | F ), wenn Y F -messbar ist und für alle beschränk- ten F-messbaren Zufallsvariablen Z : Ω → R gilt E (XZ ) = E (Y Z ).
(b) Falls E (|XY |) < ∞ und Y F-messbar ist, so gilt P -fast sicher E (XY | F) = Y E (X | F ).
(c) Unter der Voraussetzung G ⊆ F gilt P -fast sicher E ( E (X | G ) | F ) = E (X | G) = E ( E (X | F) | G).
(d) Man zeige durch ein Beispiel, dass E ( E (X | G) | F ) 6= E ( E (X | F) | G) gelten kann.
Aufgabe 2. Sei X ∈ L
2(Ω, F , P ) und sei A ⊂ F eine Teil-σ-Algebra. Dann ist E (X | A) die Orthogonalprojektion von X auf L
2(Ω, A, P )m das heißt es gilt
(i) E ((X − Y )
2) ≥ E (X − E (X | A)
2) für alle Y ∈ L
2(Ω, A, P ) und (ii) in (i) gilt Gleichheit genau dann, wenn Y = E (X | A) P -fast sicher.
Aufgabe 3. Es seien X
1und X
2zwei unabhängige und identisch verteilte Zufallsvariablen, die jeweils einen fairen Würfel simulieren, d. h., das Bildmaß von X
1ist die Gleichverteilung auf der Menge {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Weiter sei A das Ereignis, dass bei allen beiden Würfeln keine 6 fällt, und Y := X
1+ X
2. Bestimmen Sie E (X
1| σ(A)) und E (X
1| Y ).
Aufgabe 4. Es seien X und Y zwei reellwertige Zufallsgrößen auf dem Wahrscheinlichkeits- raum (Ω, A, P ) mit gemeinsamer Dichte f : R
2→ [0, ∞) bezüglich dem Lebesguemaß auf R
2. Wir notieren mit f
Y: R → R , f
Y(y) :=
RR
f (x, y) dx die Randdichte von Y und setzen für y ∈ R mit f
Y(y) > 0
f
X|Y=y: R → R , f
X|Y=y(x) := f (x, y) f
Y(y) .
Weiter sei ξ : R → R Borel-messbar und E (|ξ(X)|) < ∞. Zeigen Sie: Für P
Y-fast alle y ∈ R gilt E (ξ(X) | Y = y) =
Z
R
