Stochastik für das Lehramt, Sommersemester 2017 Dr. A. Szkoła Dr. M. Tautenhahn Übungsblatt 1

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Stochastik für das Lehramt, Sommersemester 2017 Dr. A. Szkoła Dr. M. Tautenhahn Übungsblatt 1

Aufgabe 1.

(a) Drücken Sie die folgenden Mengen einfacher aus.

1. {1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4} \ {1, 4, 2, 3}

2. {t ∈ Z : t

²

− 4t + 3 = 0}

3. {pq : p ∈ N, q ∈ N } 4. {n : n ∈ N }

(b) Ein Baukasten enthält ausschließlich Bauklötze mit folgenden Eigenschaften:

• Farbe: F := {blau, gelb, grün, rot}

• Form: S := {Pyramide, Quader, Zylinder}

• Größe: G := {groß, klein}

Zu jeder Kombination dieser Eigenschaften gibt es im Baukasten genau einen passenden Baustein.

Die Steine des Baukastens werden mit der Menge B := G × F × S beschrieben. Notieren Sie die folgenden Teilmengen von B, zum Beispiel mit (unvollständiger) Aufzählung oder durch Angabe von Eigenschaften der Elemente der Menge:

1. die Menge P aller Pyramiden, 2. die Menge L aller großen Bauklötze, 3. die Menge R aller roten Bauklötze.

Wie viele Elemente enthalten die Mengen 5. L ∩ R ∩ P ,

6. L ∪ P, 7. B \ (P ∪ L)?

Aufgabe 2. Sei M eine Menge und A, B, C ⊂ M Teilmengen von M. Aus der Vorlesungen sind Rechenregeln für Mengen bekannt. Aus diesen Rechenregeln folgt:

A \ (B ∩ C) = A ∩ ((B ∩ C)

^c

) = A ∩ (B

^c

∪ C

^c

) = (A ∩ B

^c

) ∪ (A ∩ C

^c

) = (A \ B ) ∪ (A \ C).

Wir betrachten im Folgenden die Menge M = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} und die Teilmengen A := {1, 2, 3, 5}, B := {1, 2, 4, 6}, C := {1, 3, 4, 7} von M .

(a) Beschriften Sie die Skizze und tragen Sie die Elemente von M ein. (Hinweis: Vergessen Sie nicht, auch die Menge M zu beschriften!)

(b) Unten stehen zwei Beispielrechnungen, die zeigen, wie man den ersten bzw. den zweiten Term in der obigen Gleichungskette „von innen nach außen“ ausrechnet. Führen Sie dies mit den drei verbleibenden Termen durch.

Beispielrechnung für A \ (B ∩ C): Zuerst brauchen wir B ∩ C:

B ∩ C = {1, 2, 4, 6} ∩ {1, 3, 4, 7} = {1, 4}.

(2)

Dann können wir den gesamten Ausdruck berechnen:

A \ (B ∩ C) = {1, 2, 3, 5} \ {1, 4} = {2, 3, 5}.

Beispielrechnung für A ∩ ((B ∩ C)

^c

). Wir haben schon B ∩ C = {1, 4} ausgerechnet. Als nächstes brauchen wir

(B ∩ C)

^c

= {1, 4}

^c

= {2, 3, 5, 6, 7, 8}.

Jetzt können wir alles zusammensetzen:

A ∩ ((B ∩ C)

^c

) = {1, 2, 3, 5} ∩ {2, 3, 5, 6, 7, 8} = {2, 3, 5}.

Aufgabe 3. Aus der Vorlesung und aus der Übung ist die Produktregel

|A × B | = |A| · |B| (1)

für endliche Mengen A und B bekannt.

(a) Überprüfen Sie die Gleichung (1) für 1. A = {x, y, z} und B = {0, 3}, 2. A = {4} und B = {3}, 3. A = B = {1, 2}, 4. A = B = {1, 2, 3},

indem Sie das kartesische Produkt A × B aufzählen und die Elemente zählen.

(b) Ist die Produktregel (1) auch im Fall A = ∅, B = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9} korrekt?

Für eine endliche Menge A und eine Zahl n ∈ N ist A

ⁿ

= A × A × A × · · · × A (mit n Faktoren) die Menge der n-Tupel von Elementen von A. In der Vorlesung wurde die Rechnung

|A

³

| = |A × A × A|

^B:=A×A

= |A × B|

⁽¹⁾

= |A| · |B| = |A| · |A × A| = |A| · |A| · |A| = |A|

³

gezeigt. An der Stelle (1) wurde die Gleichung (1) benutzt.

(c) Bestätigen Sie die Rechnung in den konkreten Fällen A = {99} und A = {2, 1}, indem Sie A

³

durch Aufzählung angeben und die Elemente zählen.

(d) Berechnen Sie analog zur Rechnung aus der Vorlesung |A

⁴

|, indem Sie B := A

³

= A × A × A und

|B| = |A|

³

verwenden. (Hinweis: Das richtige Ergebnis ist Ihnen aus der Vorlesung bekannt.) (e) Überprüfen Sie Ihr Ergebnis aus (d) mit der Menge A = {0, 1}.

(f) Gehen Sie nun schrittweise weiter und berechnen Sie A

⁵

und A

⁶

, indem Sie jeweils eine geeignete Menge B wählen, deren Mächtigkeit Sie schon kennen.

Aufgabe 4. In der letzten Aufgabe haben Sie mit Hilfe der Produktregel |A ×B| = |A| · |B| für endliche Mengen A und B schrittweise die Mächtigkeiten von A

³

, A

⁴

, A

⁵

und A

⁶

bestimmt.

(a) Berechnen Sie nun auf dieselbe Weise |A

ⁿ⁺¹

| für ein festes n ∈ N . Sie dürfen dabei |A

ⁿ

| = |A|

ⁿ

für genau dieses feste n verwenden.

(b) Argumentieren Sie, dass die Formel |A

ⁿ

| = |A|

ⁿ

Stochastik für das Lehramt, Sommersemester 2017 Dr. A. Szkoła Dr. M. Tautenhahn Übungsblatt 1

Stochastik für das Lehramt, Sommersemester 2017 Dr. A. Szkoła Dr. M. Tautenhahn Übungsblatt 1

Aufgabe 1.

(a) Drücken Sie die folgenden Mengen einfacher aus.

1. {1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4} \ {1, 4, 2, 3}

2. {t ∈ Z : t

− 4t + 3 = 0}

3. {pq : p ∈ N, q ∈ N } 4. {n : n ∈ N }

(b) Ein Baukasten enthält ausschließlich Bauklötze mit folgenden Eigenschaften:

• Farbe: F := {blau, gelb, grün, rot}

• Form: S := {Pyramide, Quader, Zylinder}

• Größe: G := {groß, klein}

Zu jeder Kombination dieser Eigenschaften gibt es im Baukasten genau einen passenden Baustein.

Die Steine des Baukastens werden mit der Menge B := G × F × S beschrieben. Notieren Sie die folgenden Teilmengen von B, zum Beispiel mit (unvollständiger) Aufzählung oder durch Angabe von Eigenschaften der Elemente der Menge:

1. die Menge P aller Pyramiden, 2. die Menge L aller großen Bauklötze, 3. die Menge R aller roten Bauklötze.

Wie viele Elemente enthalten die Mengen 5. L ∩ R ∩ P ,

6. L ∪ P, 7. B \ (P ∪ L)?

Aufgabe 2. Sei M eine Menge und A, B, C ⊂ M Teilmengen von M. Aus der Vorlesungen sind Rechenregeln für Mengen bekannt. Aus diesen Rechenregeln folgt:

A \ (B ∩ C) = A ∩ ((B ∩ C)

) = A ∩ (B

∪ C

) = (A ∩ B

) ∪ (A ∩ C

) = (A \ B ) ∪ (A \ C).

Wir betrachten im Folgenden die Menge M = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} und die Teilmengen A := {1, 2, 3, 5}, B := {1, 2, 4, 6}, C := {1, 3, 4, 7} von M .

(a) Beschriften Sie die Skizze und tragen Sie die Elemente von M ein. (Hinweis: Vergessen Sie nicht, auch die Menge M zu beschriften!)

(b) Unten stehen zwei Beispielrechnungen, die zeigen, wie man den ersten bzw. den zweiten Term in der obigen Gleichungskette „von innen nach außen“ ausrechnet. Führen Sie dies mit den drei verbleibenden Termen durch.

Beispielrechnung für A \ (B ∩ C): Zuerst brauchen wir B ∩ C:

B ∩ C = {1, 2, 4, 6} ∩ {1, 3, 4, 7} = {1, 4}.

Dann können wir den gesamten Ausdruck berechnen:

A \ (B ∩ C) = {1, 2, 3, 5} \ {1, 4} = {2, 3, 5}.

Beispielrechnung für A ∩ ((B ∩ C)

). Wir haben schon B ∩ C = {1, 4} ausgerechnet. Als nächstes brauchen wir

(B ∩ C)

= {1, 4}

= {2, 3, 5, 6, 7, 8}.

Jetzt können wir alles zusammensetzen:

A ∩ ((B ∩ C)

) = {1, 2, 3, 5} ∩ {2, 3, 5, 6, 7, 8} = {2, 3, 5}.

Aufgabe 3. Aus der Vorlesung und aus der Übung ist die Produktregel

|A × B | = |A| · |B| (1)

für endliche Mengen A und B bekannt.

(a) Überprüfen Sie die Gleichung (1) für 1. A = {x, y, z} und B = {0, 3}, 2. A = {4} und B = {3}, 3. A = B = {1, 2}, 4. A = B = {1, 2, 3},

indem Sie das kartesische Produkt A × B aufzählen und die Elemente zählen.

(b) Ist die Produktregel (1) auch im Fall A = ∅, B = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9} korrekt?

Für eine endliche Menge A und eine Zahl n ∈ N ist A

= A × A × A × · · · × A (mit n Faktoren) die Menge der n-Tupel von Elementen von A. In der Vorlesung wurde die Rechnung

|A

| = |A × A × A|

= |A × B|

= |A| · |B| = |A| · |A × A| = |A| · |A| · |A| = |A|

gezeigt. An der Stelle (1) wurde die Gleichung (1) benutzt.

(c) Bestätigen Sie die Rechnung in den konkreten Fällen A = {99} und A = {2, 1}, indem Sie A

durch Aufzählung angeben und die Elemente zählen.

(d) Berechnen Sie analog zur Rechnung aus der Vorlesung |A

|, indem Sie B := A

= A × A × A und

|B| = |A|

verwenden. (Hinweis: Das richtige Ergebnis ist Ihnen aus der Vorlesung bekannt.) (e) Überprüfen Sie Ihr Ergebnis aus (d) mit der Menge A = {0, 1}.

(f) Gehen Sie nun schrittweise weiter und berechnen Sie A

und A

, indem Sie jeweils eine geeignete Menge B wählen, deren Mächtigkeit Sie schon kennen.

Aufgabe 4. In der letzten Aufgabe haben Sie mit Hilfe der Produktregel |A ×B| = |A| · |B| für endliche Mengen A und B schrittweise die Mächtigkeiten von A

, A

, A

und A

bestimmt.

(a) Berechnen Sie nun auf dieselbe Weise |A

| für ein festes n ∈ N . Sie dürfen dabei |A

| = |A|

für genau dieses feste n verwenden.

(b) Argumentieren Sie, dass die Formel |A

| = |A|

für alle n ∈ N (und alle endlichen Mengen A) richtig ist (und nicht nur für das spezielle n aus (a)).

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