Stochastik, Sommersemester 2019 Prof. Dr. U. Freiberg Dr. M. Tautenhahn Übungsblatt 7 zu bearbeiten bis 14.06.2019

(1)

Stochastik, Sommersemester 2019 Prof. Dr. U. Freiberg Dr. M. Tautenhahn Übungsblatt 7

zu bearbeiten bis 14.06.2019

Aufgabe 1. Beweisen Sie Lemma 2.6.11 aus der Vorlesung: Seien X

₁

, . . . , X

_n

∼ U [0, a], a > 0, unabhängig identisch verteilte Zufallsvariablen. Dann gilt

(a) M

n

= max

_1≤i≤n

X

i

ist verteilt mit Dichte

f

n

(x) = na

⁻ⁿ

x

ⁿ⁻¹

1

_[0,a]

(x).

(b) E (M

_n

) = na/(n + 1).

(c) Die Verteilungsfunktion von Y

n

= n(a − M

n

) konvergiert gegen die Verteilungsfunktion von Exp

_1/a

.

Aufgabe 2.

(a) Seien X

₁

, . . . , X

_n

unabhängige reellwertige Zufallsvariablen mit absolutstetigen Verteilun- gen bezüglich des Lebesgue-Maßes auf R :

P ({X

_i

∈ B }) = Z

B

f

_X_i

(t)dt, B ∈ B( R ).

Zeigen Sie: Die gemeinsame Verteilung von X

1

, . . . , X

n

ist absolutstetig bezüglich des Le- besguemaßes auf R

ⁿ

mit Dichte

f (t

1

, . . . , t

n

) =

n

Y

i=1

f

Xi

(t

i

).

(b) Umgekehrt seien X

1

, . . . , X

n

reellwertige Zufallsvariablen, deren gemeinsame Verteilung absolutstetig mit einer Dichte in Produktform ist:

f (t

1

, . . . , t

n

) =

n

Y

i=1

f

i

(t

i

), f

i

: R → [0, ∞) messbar.

Zeigen Sie: X

₁

, . . . , X

_n

sind unabhängig und die Verteilungen sind absolutstetig mit Dich- ten

f

Xi

= f

i

R

f

i

(t)dt , 1 ≤ i ≤ n.

Aufgabe 3. Jeden Freitagabend gehen Alfred und Belinda unabhängig voneinander in ihre

(gemeinsame) Stammkneipe, die von 20-24 Uhr geöffnet hat. Ihr Ankunftszeiten seien gleich-

verteilt auf dem Zeit-Intervall von 20-24 Uhr. Jeder von ihnen bleibt exakt eine Stunde, falls

die Kneipe nicht eher schließt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich die beiden in der

Kneipe treffen? Wie lautet die Antwort, wenn die Kneipe statt 4 Stunden n Stunden (n ∈ N )

lang geöffnet ist?

(2)

Stochastik, Sommersemester 2019 Prof. Dr. U. Freiberg Dr. M. Tautenhahn Übungsblatt 7 zu bearbeiten bis 14.06.2019

Stochastik, Sommersemester 2019 Prof. Dr. U. Freiberg Dr. M. Tautenhahn Übungsblatt 7

zu bearbeiten bis 14.06.2019

Aufgabe 1. Beweisen Sie Lemma 2.6.11 aus der Vorlesung: Seien X

, . . . , X

∼ U [0, a], a > 0, unabhängig identisch verteilte Zufallsvariablen. Dann gilt

(a) M

= max

X

ist verteilt mit Dichte

f

(x) = na

x

1

(x).

(b) E (M

) = na/(n + 1).

(c) Die Verteilungsfunktion von Y

= n(a − M

) konvergiert gegen die Verteilungsfunktion von Exp

.

Aufgabe 2.

(a) Seien X

, . . . , X

unabhängige reellwertige Zufallsvariablen mit absolutstetigen Verteilun- gen bezüglich des Lebesgue-Maßes auf R :

P ({X

∈ B }) = Z

f

(t)dt, B ∈ B( R ).

Zeigen Sie: Die gemeinsame Verteilung von X

, . . . , X

ist absolutstetig bezüglich des Le- besguemaßes auf R

mit Dichte

f (t

, . . . , t

) =

Y

f

(t

).

(b) Umgekehrt seien X

, . . . , X

reellwertige Zufallsvariablen, deren gemeinsame Verteilung absolutstetig mit einer Dichte in Produktform ist:

f (t

, . . . , t

) =

Y

f

(t

), f

: R → [0, ∞) messbar.

Zeigen Sie: X

, . . . , X

sind unabhängig und die Verteilungen sind absolutstetig mit Dich- ten

f

= f

R

f

(t)dt , 1 ≤ i ≤ n.

Aufgabe 3. Jeden Freitagabend gehen Alfred und Belinda unabhängig voneinander in ihre

(gemeinsame) Stammkneipe, die von 20-24 Uhr geöffnet hat. Ihr Ankunftszeiten seien gleich-

verteilt auf dem Zeit-Intervall von 20-24 Uhr. Jeder von ihnen bleibt exakt eine Stunde, falls

die Kneipe nicht eher schließt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich die beiden in der

Kneipe treffen? Wie lautet die Antwort, wenn die Kneipe statt 4 Stunden n Stunden (n ∈ N )

lang geöffnet ist?

Aufgabe 4. Ein Stab der Länge 1 wird in zwei Teile gebrochen. Dabei sei die Bruchstelle auf dem Stab gleichverteilt.

(a) Wie groß ist die erwartete Länge des kleineren der beiden Teile?

(b) Wie groß ist das erwartete Verhältnis von kurzem zu langem Stück? Erst raten, dann rechnen!

Aufgabe 5.

(a) Berechnen Sie Erwartungswert und Varianz der Zufallsvariable X, falls X normal- bzw.

exponential- bzw. uniform- bzw. Gamma-verteilt ist.

(b) Wie ist min(X

, . . . , X

) verteilt, falls X

∼ Exp(λ

), i = 1, . . . , n?

2