Stochastik für das Lehramt Prof. Dr. U. Freiberg
Sommersemester 2019 Dr. M. Tautenhahn
Hausaufgabe 0
Wird am 29. April in der Uebung besprochen
Aufgabe 1. Es seiena, b, c∈N. Sind folgende Aussagen wahr oder falsch?
(a) a∈ {a, b, c}
(b) a⊂ {a, b, c}
(c) ∅ ⊂ {a, b, c}
(d) {b} ⊂ {a, b, c}
(e) {∅} ⊂ {a, b, c}
(f) {b} ∈ {a, b, c}
(g) ∅ ⊂ P({a, b, c}) (h) ∅ ∈ P({a, b, c}) Aufgabe 2.
(a) Warum gilt
#(A×B) = #A·#B, fallsA und B endlich, sowie
#P(A) = 2#A, fallsA endlich?
(b) Warum ist im Allgemeinen
P(A∪B)6=P(A)∪ P(B) und
P(A×B)6=P(A)× P(B)?
Aufgabe 3. Es seienA, A1, A2, . . . , B, B1, B2, . . . , C Mengen. Zeigen Sie:
(a) (i) A\B =A∩Bc (ii) (A∪B)c =Ac∩Bc (iii) (A∩B)c =Ac∪Bc.
(b) (i) ]A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C) (ii) A\(B ∪C) = (A\B)∩(A\C) (iii) A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C) (iv) A\(B ∩C) = (A\B)∪(A\C).
(c) (i) A∩
∞ S
i=1
Bi
= ∞S
i=1
(A∩Bi) (ii) A\
∞ S
i=1
Bi
=
∞
T
i=1
(A\Bi) (iii) A∪
∞ T
i=1
Bi
= ∞T
i=1
(A∪Bi) (iv) A\
∞ T
i=1
Bi
= ∞S
i=1
(A\Bi).
(d) 1.
∞
S
i=1
(Ai∩Bi)⊂
∞ S
i=1
Ai
∩
∞ S
i=1
Bi
2. ∞T
i=1
(Ai∪Bi)⊃
∞ T
i=1
Ai
∪
∞ T
i=1
Bi
3. Zeigen Sie anhand eines Gegenbeispiels, dass in (i) und (ii) Gleichheit im Allgemeinen nicht gilt.
Aufgabe 4. Es seienAundB Teilmengen einer Menge Ω. Zeigen Sie folgende Äquivalenzen:
(a) A∩B =∅ ⇐⇒ A⊂Bc ⇐⇒ B ⊂Ac. (b) A⊂B ⇐⇒ A∪B =B ⇐⇒ A∩B =A.
Aufgabe 5. Zeigen Sie folgende Aussagen (n ∈N):
(a)
n k
!
+ n
k−1
!
= n+ 1 k
!
für alle k= 1, . . . , n.
(b) Binomischer Lehrsatz: Für alle x, y ∈R gilt (x+y)n=
n
X
k=0
n k
!
xkyn−k.
(c) Folgerung 1 (x=y= 1, Zeilensumme im pascalschen Dreieck)
n
X
k=0
n k
!
= 2n.
(d) Folgerung 2 (x=−1, y = 1)
n
X
k=0
(−1)k n k
!
= 0.
(e) Folgerung 3
n
X
k=0
k n k
!
=n2n−1.
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