Stochastik, Sommersemester 2019 Prof. Dr. U. Freiberg Dr. M. Tautenhahn Übungsblatt 3 zu bearbeiten bis 17.05.2019

(1)

Stochastik, Sommersemester 2019 Prof. Dr. U. Freiberg Dr. M. Tautenhahn Übungsblatt 3

zu bearbeiten bis 17.05.2019

Aufgabe 1. Geben Sie einen Maßraum (Ω, A, µ) und Folgen (f

_n

)

_n∈_N

, (g

_n

)

_n∈_N

, (h

_n

)

_n∈_N

von µ- integrierbaren reellwertigen Funktionen an, die jeweils punktweise (d.h. für alle ω ∈ Ω) gegen Null konvergieren, und für die gilt:

(a) lim

n→∞

Z

R

f

_n

(t) dµ(t) = ∞.

(b) lim

n→∞

Z

R

g

n

(t) dµ(t) = 1.

(c) lim sup

n→∞

Z

R

h

_n

(t) dµ(t) = 1 und lim inf

n→∞

Z

R

h

_n

(t) dµ(t) = −1.

Nennen Sie Grenzwertsätze, die die Voraussetzungen beschreiben, um Grenzwert und Integral zu vertauschen. Warum sind diese nicht anwendbar?

Aufgabe 2. Sei Ω eine abzählbare Menge mit σ-Algebra A = P(Ω). Sei M die Menge der Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf (Ω, A).

(a) Zeigen Sie, dass M konvex ist.

(b) Bestimmen Sie die Extremalpunkte von M . Hinweis: ein Element x einer konvexen Menge V heißt extremal, falls aus x = ty + (1 − t)z mit t ∈ (0, 1) und y, z ∈ V schon folgt, dass y = z = x.

(c) Zeigen Sie, dass sich jedes P ∈ M als „Mischung“ von Extremalpunkten darstellen lässt, d. h.

P = ^X

i

α

i

P

i

wobei α

i

≥ 0, ^X

i

α

i

= 1 und P

i

extremal.

Aufgabe 3. Es sei Ω := {ω : {1, . . . , n} → {1, . . . , n} | ω bijektiv} die Menge der Permutatio- nen auf n ∈ N Elementen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig und gleichverteilt gezogene Permutation (mindestens) einen Fixpunkt hat. Wie groß ist diese Wahrscheinlichkeit asymptotisch?

Aufgabe 4. Sei (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum und T : Ω → Ω eine messbare Ab- bildung. Man nennt T eine maßerhaltende Transformation in dem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P ), falls für alle A ∈ A gilt P (T

⁻¹

(A)) = P (A).

Sei T eine maßerhaltende Transformation in dem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P ) und A ∈ A. Zeigen Sie, dass P -fast alle ω ∈ A rekurrent sind, das heißt, für P -fast alle ω ∈ A existiert ein n ∈ N , so dass T

ⁿ

(ω) ∈ A.

Aufgabe 5. Seien A

1

, A

2

, . . . , A

n

unabhängige Ereignisse mit P (A

i

Stochastik, Sommersemester 2019 Prof. Dr. U. Freiberg Dr. M. Tautenhahn Übungsblatt 3 zu bearbeiten bis 17.05.2019

Stochastik, Sommersemester 2019 Prof. Dr. U. Freiberg Dr. M. Tautenhahn Übungsblatt 3

zu bearbeiten bis 17.05.2019

Aufgabe 1. Geben Sie einen Maßraum (Ω, A, µ) und Folgen (f

)

, (g

)

, (h

)

von µ- integrierbaren reellwertigen Funktionen an, die jeweils punktweise (d.h. für alle ω ∈ Ω) gegen Null konvergieren, und für die gilt:

(a) lim

Z

f

(t) dµ(t) = ∞.

(b) lim

Z

g

(t) dµ(t) = 1.

(c) lim sup

Z

h

(t) dµ(t) = 1 und lim inf

Z

h

(t) dµ(t) = −1.

Nennen Sie Grenzwertsätze, die die Voraussetzungen beschreiben, um Grenzwert und Integral zu vertauschen. Warum sind diese nicht anwendbar?

Aufgabe 2. Sei Ω eine abzählbare Menge mit σ-Algebra A = P(Ω). Sei M die Menge der Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf (Ω, A).

(a) Zeigen Sie, dass M konvex ist.

(b) Bestimmen Sie die Extremalpunkte von M . Hinweis: ein Element x einer konvexen Menge V heißt extremal, falls aus x = ty + (1 − t)z mit t ∈ (0, 1) und y, z ∈ V schon folgt, dass y = z = x.

(c) Zeigen Sie, dass sich jedes P ∈ M als „Mischung“ von Extremalpunkten darstellen lässt, d. h.

P = X

α

P

wobei α

≥ 0, X

α

= 1 und P

extremal.

Aufgabe 4. Sei (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum und T : Ω → Ω eine messbare Ab- bildung. Man nennt T eine maßerhaltende Transformation in dem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P ), falls für alle A ∈ A gilt P (T

(A)) = P (A).

Sei T eine maßerhaltende Transformation in dem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P ) und A ∈ A. Zeigen Sie, dass P -fast alle ω ∈ A rekurrent sind, das heißt, für P -fast alle ω ∈ A existiert ein n ∈ N , so dass T

(ω) ∈ A.

Aufgabe 5. Seien A

, A

, . . . , A

unabhängige Ereignisse mit P (A

) = p, i = 1, 2, . . . , n.

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass (a) mindestens eines der Ereignisse eintritt,

(b) mindestens m der Ereignisse eintreten (m ≤ n),

(c) genau m der Ereignisse eintreten.

P = ^X

≥ 0, ^X