Stochastik für das Lehramt Prof. Dr. U. Freiberg
Sommersemester 2019 Dr. M. Tautenhahn
Hausaufgabe 4
Abgabe am 20. Mai 2019
Aufgabe 1.Für die Ereignisse A und B seien folgende Wahrscheinlichkeiten bekannt:
P(A) = 0.25, P(B) = 0.45, P(A∪B) = 0.5.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten
P(A∩B), P(A∩B) und P (A∩B)∪(A∩B) .
Aufgabe 2. Sei pn die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Klasse von n Kindern wenigstens zwei am gleichen Tag Geburtstag haben. Vereinfachend sei dabei angenommen, dass kein Kind am 29. Februar geboren ist und alle anderen Geburtstage gleich wahrscheinlich sind.
Zeigen Sie (unter Verwendung der Ungleichung 1−x≤e−x) pn ≥1−e−n(n−1)/730
, und bestimmen ein möglichst kleinesn mit pn ≥1/2.
Aufgabe 3.Ein Testat im Fach Stochastik sei wie folgt beschaffen: Der zu prüfende Student wählt aus50vorliegenden Prüfungsfragen blind 10Fragen aus. Das Testat gelte als bestan- den, wenn er von diesen10Fragen mindestens4Fragen richtig beantworten kann. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Testat
1. bestanden wird, obwohl der Student nur 20% aller Prüfungsfragen beantworten kann, 2. nicht bestanden wird, obwohl der Student60%aller Prüfungsfragen beantworten kann.
Aufgabe 4.Die Arbeit eines Kraftwerkes wird durch drei unabhängig voneinander arbeiten- de Kontrollsysteme überwacht, die einer gewissen Störanfälligkeit unterliegen. Es bezeichne Sj das Ereignis, dass das j-te System störungsfrei arbeitet (j ∈ {1,2,3}).
(a) Was beschreibt das Ereignis S1∩S2?
(b) Drücken Sie folgende Ereignisse mit Hilfe der EreignisseS1, S2 und S3 aus:
A: Alle drei Systeme arbeiten störungsfrei.
B: Kein System arbeitet störungsfrei.
C: Mindestens ein System arbeitet störungsfrei.
D: Genau ein System arbeitet störungsfrei.
E: Höchstens zwei Systeme sind gestört.
(c) Wie sieht ein geeigneter Grundraum Ωaus?
(d) Welche der unter (b) genannten Ereignisse können als Elementarereignisse betrachtet werden?
(e) Aus wie vielen Elementarereignissen bestehen die EreignisseD und C?
Aufgabe 5.Bestimmen Sie die folgenden Anzahlen.
(a) An einem Golfturnier nehmen 20 Golfspielerinnen und Golfspieler teil. Wie viele mögliche Konstellationen gibt es auf dem Siegertreppchen für die Plätze Bronze, Silber und Gold?
(Gehen Sie davon aus, dass es keine Doppelbelegungen auf dem Siegertreppchen geben wird.)
(b) Unter den 20 Golfspielern sind elf Damen. Wie viele mögliche Reihenfolgen von „weiblich“
und „männlich“ können am Ende des Turniers herauskommen?
(c) Der Caddie eines Spielers führt eine Strichliste, wie oft sein Golfer einen jeden seiner 14 Schläger benutzt. Der Spieler braucht im gesamten Turnier 75 Schläge. Wie viele mögliche Listen können dabei entstehen?
(d) Der Golfplatz ist brandneu, und so gibt es während des Turniers an jedem Loch einen neuen Rekord. Nach dem Turnier ist zu jedem der 18 Löcher der Name des Rekordhalters bzw. der Rekordhalterin vermerkt. Wie viele verschiedene Szenarien sind denkbar?
(e) Vor dem Turnier stellen sich die 20 Spielerinnen und Spieler für ein Photo in zwei Reihen á 10 Personen auf. Wie viele Anordnungen können dabei entstehen?
(f) Im Laufe des Turnieres schüttelt jeder der 20 Golfer und Golferinnen allen Mitspielerin- nen und Mitspielern die Hand. Wie viele Handschläge sind das insgesamt?
(g) Die männlichen 9 Golfer sind Gentlemen und bringen den 11 Golferinnen je ein Blümchen mit. Wie viele Blümchen werden beim Turnier verschenkt?
Aufgabe 6.Das pascalsche Dreieck ist eine Form der grafischen Darstellung der Binomial- koeffizienten, die auch eine einfache Berechnung dieser erlaubt. Sie sind im Dreieck derart angeordnet, dass jeder Eintrag die Summe der zwei darüberstehenden Einträge ist. Dieser Sachverhalt wird durch die Gleichung
n
k
=
n−1
k−1
+
n−1
k
(1) beschrieben, siehe Abbildung.
0 0
= 1
1 0
= 1 11
= 1
2 0
= 1 21
= 2 22
= 1
3 0
= 1 31
= 3 32
= 3 33
= 1
4 0
= 1 41
= 4 42
= 6 43
= 4 44
= 1
Beweisen Sie Gleichung (1).
2
