Stochastik für das Lehramt, Sommersemester 2017 Dr. A. Szkoła Dr. M. Tautenhahn Übungsblatt 2

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Stochastik für das Lehramt, Sommersemester 2017 Dr. A. Szkoła Dr. M. Tautenhahn Übungsblatt 2

Aufgabe 1. Bei den folgenden drei Würfeln sind eine Seite und die ihr gegenüberliegende Seite jeweils gleich beschriftet.

• Der Würfel A trägt die Zahlen 1, 6 und 8.

• Der Würfel B ist mit den Zahlen 2, 4 und 9 beschriftet.

• Der Würfel C zeigt auf seinen Flächen die Zahlen 3, 5 und 7.

Bei einem Spiel wählen zwei Spieler je einen Würfel, würfeln gleichzeitig, und der Würfel mit der höheren Zahl gewinnt. Wir vergleichen den ersten und den zweiten Würfel in folgender Tabelle, indem wir eintragen, welcher Würfel beim jeweiligen Ergebnis gewinnt.

B

A 1 6 8

2 B A A

4 B A A

9 B B B

Beispielsweise gewinnt Würfel B, wenn 2 und 1 fallen. Wir erkennen, dass Würfel B in fünf von neun Fällen gewinnt, also dem Würfel A auf lange Sicht überlegen ist.

(a) Vergleichen Sie die Würfel A und C sowie B und C.

(b) Schreiben Sie die Relation R ⊂ {A, B, C}

²

auf, so dass (x, y) ∈ R ⇐⇒ Würfel x verliert auf lange Sicht gegen Würfel y. Nach obiger Tabelle muss beispielsweise (A, B) ∈ R sein.

(c) Ist die Relation R . . .

1. binär? 2. reflexiv? 3. symmetrisch?

4. antisymmetrisch? 5. transitiv? 6. eine Äquivalenzrelation?

7. eine Ordnungsrelation? 8. eine Abbildung? 9. Funktion?

Falls 9. zutrifft, was sind 10. der Definitionsbereich 11. der Bildbereich?

Begründen Sie Ihre Antworten jeweils, indem Sie die Definition überprüfen oder ein Gegenbeispiel angeben.

Aufgabe 2. Gegeben sei die Abbildung f : R → R , x 7→ x

²

. Berechnen Sie f(A) und f

⁻¹

(A) für

(a) A = [0, 1] (b) A = [−2, 0] (c) A = R (d) A = ∅ (e) A = Z

Sei nun A := {a, b, c}, B = {1, 2, 3, 4} und f : A → B gegeben durch f(a) = 4, f(b) = 4 und

f(c) = 1. Geben Sie die Bildmenge f({a, c}), sowie die Urbildmengen f

⁻¹

({2}), f

⁻¹

({2, 4})

und f

⁻¹

(B) an.

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Aufgabe 3. Beim Spiel „Stein, Schere, Papier“ machen zwei Spieler gleichzeitig ein Hand- zeichen für Stein (r), Schere (s) oder Papier (p). Die Zeichen stehen in Relation zueinander, und zwar gewinnt x ∈ {r, p, s} gegen y ∈ {r, p, s}, wenn (x, y) ∈ G mit

G := {(r, s), (s, p), (p, r)}.

Ist dies der Fall, so verliert y gleichzeitig gegen x. Bei gleichem Handzeichen gewinnt und verliert niemand.

(a) Schreiben Sie die Relation N ⊂ {r, s, p}

²

auf, die ein Paar (x, y) genau dann enthält, wenn x gegen y nicht verliert.

(b) Ist die Relation G . . .

1. binär? 2. reflexiv? 3. symmetrisch?

4. antisymmetrisch? 5. transitiv? 6. eine Äquivalenzrelation?

7. eine Ordnungsrelation? 8. eine Abbildung? 9. Funktion?

Falls 9. zutrifft, was sind 10. der Definitionsbereich 11. der Bildbereich?

Begründen Sie Ihre Antworten jeweils, indem Sie die Definition überprüfen oder ein Gegenbeispiel angeben.

(c) Wie viele Relationen gibt es auf der Menge {r, s, p} der Handzeichen? Wie viele davon sind reflexiv?

(d) Gelegentlich wird das Spiel um ein weiteres Handzeichen namens Brunnen (b) erweitert.

Der Brunnen gewinnt gegen Stein und Schere, verliert aber gegen Papier. Schreiben Sie die erweiterte Gewinn-Relation auf.

Aufgabe 4. Entscheiden Sie, ob die folgenden Abbildungen injektiv, surjektiv oder gar bi- jektiv sind! Offensichtlich sind alle Abbildungen wohldefiniert und bilden in die angegebenen Mengen ab.

(a) f : N → N , n 7→ n + 1 (b) f : Z → Z , n 7→ n + 1

(c) f : N × N → N , (n, m) 7→ n + m (d) f : Z → Z , n 7→ 2n

(e) f : R → R , x 7→ 2x

Zusatzaufgabe

Aufgabe 5. Es sei M eine nicht-leere Menge und P (M ) die Potenzmenge von M. Beweisen Sie, dass es keine Surjektive Abbildung f : M → P (M ) gibt.

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