Stochastik, Sommersemester 2014 Prof. Dr. I. Veselić Dr. M. Tautenhahn, Dr. C. Schumacher Hausaufgabe 4
Abgabe am 5.5. oder am 7.5. in der Übung
Aufgabe 1. Sei (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum, X : Ω → R eine Zufallsvariable und F
X: R → [0, 1] die zugehörige Verteilungsfunktion. Beweisen Sie die folgenden fünf Eigenschaften
(a) F
X: R → [0, 1] ist monoton wachsend, (b) F
Xist rechtsstetig, d.h. lim
y&c
F
X(y) = F
X(c), (c) F
X(c) − lim
y%cF
X(y) = P
X({c}),
(d) F
Xist stetig bei c ⇔ P
X({c}) = 0,
(e) Ist X P -fast-sicher reellwertig, d.h. P (X ∈ R ) = 1, dann gilt lim
c&−∞
F
X(c) = 0 und lim
c%∞
F
X(c) = 1.
Beachte, R ist mit der Borel-σ-Algebra ausgestattet und P
X: B( R ) → [0, 1] ist eindeutig festgelegt durch F
X([−∞, c]) = P (X ≤ c) für beliebiges c ∈ R .
Aufgabe 2. Sei F : R → R eine monotone Funktion. Zeigen Sie (a) F hat höchstens abzählbar viele Unstetigkeitsstellen, (b) F ist (B( R )-B( R ))-messbar.
Aufgabe 3. Seien F, F
n: R → [0, 1], n ∈ N , Verteilungsfunktionen, F stetig und es gelte
n→∞
lim F
n(x) = F (x) für alle x ∈ R . (a) Zeigen Sie, dass dann (F
n)
n∈Ngleichmäßig gegen F konvergiert.
(b) Beweisen oder widerlegen Sie diese Aussage ohne die Voraussetzung an die Stetigkeit von F . Aufgabe 4. Für k ∈ N , N ∈ N und j
1, . . . , j
k∈ {0, . . . , N} ist der Multinomialkoeffizient definiert als
N j
1, . . . , j
k! :=
(
N!j1!j2!···jk!
falls j
1+ j
2+ · · · + j
k= N , und
0 sonst.
Zeigen Sie für k ∈ N , x
1, . . . , x
k∈ C und N ∈ N :
(x
1+ · · · + x
k)
N=
N
X
j1,...,jk=0
